Soluzioni
  • Ciao Jumpy. :)

    Disegniamo una circonferenza di centro O e raggio CO=2 e sia ABC un triangolo isoscele in esso inscritto.

     

    Triangolo isoscele inscritto

     

    Detta CH l'altezza relativa alla base AB, poniamo OH=x e, come possiamo osservare dal disegno appena fatto

    CH=CO+OH=2+x

    Applichiamo ora il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo AOH:

    AH=\sqrt{AO^2-OH^2}=\sqrt{4-x^2}

    (infatti AO è uno dei raggi della circonferenza e, in quanto tale, la sua misura è pari a 2).

    Possiamo così ricavare la misura della base maggiore in funzione di x

    AB=2AH=2\sqrt{4-x^2}

    Infine, grazie ai dati forniti dal problema, sappiamo che

    AB+CH=m

    sostituendo i valori prima trovati ricadiamo nell'equazione

    2\sqrt{4-x^2}+(2+x)=m

    ossia in un'equazione irrazionale nell'incognita x

    2\sqrt{4-x^2}=m-2-x

    con m numero reale positivo.

    Prima di elevare ambo i membri al quadrato così da poterci disfare della radice quadrata, osserviamo che x indica la misura del segmento OH che è un cateto del triangolo rettangolo AOH di ipotenusa AO=2. Di conseguenza, necessariamente:

    0<OH<2 \mbox{ ossia }0<x<2

    ed in tale intervallo il radicando è positivo. Possiamo così elevare ambo i membri dell'equazione al quadrato senza alcun problema.

    4(4-x^2)=(m-2-x)^2

    Sviluppiamo il quadrato del trinomio e svolgiamo il prodotto a primo membro

    16-4x^2=m^2+4+x^2-4m-2mx+4x

    Sommando i termini simili ed ordinando secondo le potenze decrescenti di x ricadiamo in un'equazione parametrica di secondo grado

    5x^2+2(2-m)x+m^2-12-4m=0

    la quale ammette soluzioni reali a patto che il suo discriminante sia positivo. Utilizzando la formula del delta quarti abbiamo

    \frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac=(2-m)^2-5(m^2-12-4m)=

    (sviluppando il quadrato di binomio e svolgendo i conti)

    =4-4m+m^2-5m^2+60+20m=-4m^2+16m+64=-m^2+4m+16

    Poniamo allora

    \frac{\Delta}{4}>0 \iff -m^2+4m+16 >0 \iff m^2-4m-16<0

    Ricadiamo così in un'equazione di secondo grado nell'incognita m la quale ha come soluzioni

    2-2\sqrt{5}<m<2+2\sqrt{5}

    Dal momento che m è un numero reale positivo, deve valere

    0<m<2+2\sqrt{5}

    e questo conclude la discussione del nostro problema. :)

    Risposta di Galois
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