Discussione con triangolo isoscele inscritto in una circonferenza

Disegniamo una circonferenza di centro O e raggio e sia un triangolo isoscele in esso inscritto.

Detta l'altezza relativa alla base , poniamo e, come possiamo osservare dal disegno appena fatto

Applichiamo ora il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo :

(infatti AO è uno dei raggi della circonferenza e, in quanto tale, la sua misura è pari a 2).

Possiamo così ricavare la misura della base maggiore in funzione di

Infine, grazie ai dati forniti dal problema, sappiamo che

sostituendo i valori prima trovati ricadiamo nell'equazione

ossia in un'equazione irrazionale nell'incognita x

con numero reale positivo.

Prima di elevare ambo i membri al quadrato così da poterci disfare della radice quadrata, osserviamo che x indica la misura del segmento che è un cateto del triangolo rettangolo di ipotenusa . Di conseguenza, necessariamente:

ed in tale intervallo il radicando è positivo. Possiamo così elevare ambo i membri dell'equazione al quadrato senza alcun problema.

Sviluppiamo il quadrato del trinomio e svolgiamo il prodotto a primo membro

Sommando i termini simili ed ordinando secondo le potenze decrescenti di x ricadiamo in un'equazione parametrica di secondo grado

la quale ammette soluzioni reali a patto che il suo discriminante sia positivo. Utilizzando la formula del delta quarti abbiamo

Sviluppando il quadrato di binomio e svolgendo i conti

Poniamo allora

Ricadiamo così in un'equazione di secondo grado nell'incognita la quale ha come soluzioni

Dal momento che è un numero reale positivo, deve valere

e questo conclude la discussione del nostro problema.