Esercizio teorico sul calcolo del polinomio carattersitico

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Ho un dubbio che riguarda il polinomio caratteristico di una matrice. È possibile calcolare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A

 

p_{A}(\lambda)=\mbox{det}(A-\lambda\ \mbox{Id}_n)

 

usando al posto di A una sua matrice ridotta a scala A'? In altri termini, in generale è vero che:

 

\mbox{det}(A-\lambda\, \mbox{Id}_{n})=\mbox{det}(A'-\lambda\, \mbox{Id}_n)\, ?

 

Grazie.

Domanda di peppe30

 
Soluzioni

  • In generale, non è possibile calcolare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A, sostituendola con la sua ridotta. Per mostrare che non è vero, consideriamo la matrice 2\times 2

    A=\begin{pmatrix}1&1\\ 3&1\end{pmatrix}

    e determiniamo la matrice ridotta a scala usando la mossa di Gauss

    \\ R_2 \ \to \ R_2-3 R_1= \begin{pmatrix}3&1\end{pmatrix}-3\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}= \\ \\ =\begin{pmatrix}3&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-2\end{pmatrix}

    La ridotta è

    A'=\begin{pmatrix}1&1\\ 0&-2\end{pmatrix}

    A questo punto calcoliamo il polinomio caratteristico di A e quello della matrice ridotta A'.

    Per definizione, il polinomio caratteristico di A è il determinante della matrice A-\lambda\,\mbox{Id}_2, dove \lambda è l'indeterminata del polinomio, mentre \mbox{Id}_2 è la matrice identità di ordine 2.

    p_{A}(\lambda)=\mbox{det}(A-\lambda\,\mbox{Id}_2)=\mbox{det}\left[\begin{pmatrix}1&1\\ 3&1\end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\right]=

    Calcoliamo il prodotto scalare-matrice

    =\mbox{det}\left[\begin{pmatrix}1&1\\ 3&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&\lambda\end{pmatrix}\right]=

    e la somma matriciale

    =\mbox{det}\begin{pmatrix}1-\lambda &1\\ 3&1-\lambda\end{pmatrix}=

    Il determinante della matrice 2\times 2 è semplice da calcolare: basta sottrarre al prodotto degli elementi della diagonale principale quello degli elementi della diagonale secondaria

    =(1-\lambda)(1-\lambda)-3\cdot 1=\\ \\ =\lambda^2-2\lambda-2

    Calcoliamo il polinomio caratteristico di A'

    \\ p_{A'}(\lambda)=\mbox{det}(A'-\lambda\,\mbox{Id}_{2})=\mbox{det}\left[\begin{pmatrix}1&1\\0&-2\end{pmatrix}-\lambda\begin{pmatrix}1&0\\ 0&1\end{pmatrix}\right]= \\ \\ \\ =\mbox{det}\left[\begin{pmatrix}1&1\\0&-2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\lambda&0\\ 0&\lambda\end{pmatrix}\right]=\mbox{det}\begin{pmatrix}1-\lambda&1\\0&-2-\lambda\end{pmatrix}= \\ \\ \\ =(1-\lambda)(-2-\lambda)-1\cdot 0=\\ \\ =\lambda^2+\lambda-2

    In definitiva, il polinomio caratteristico della matrice A e quello della ridotta A' sono

    \\ p_{A}(\lambda)=\lambda^2-2\lambda-2 \\ \\ p_{A'}(\lambda)=\lambda^2+\lambda-2

    ed evidentemente non sono uguali.

    Gli autovalori di una matrice non coincidono con quelli della sua ridotta

    Attenzione! È opportuno evidenziare che p_{A}(\lambda) e p_{A'}(\lambda) non hanno neppure le stesse radici, infatti

    p_{A}(\lambda)=0 \ \iff \ \lambda=1-\sqrt{3} \ \ \ \vee \ \ \ \lambda=1+\sqrt{3}

    mentre

    p_{A'}(\lambda)=0 \ \iff \ \lambda=-2 \ \ \ \vee \ \ \ \lambda=1

    Ne segue che gli autovalori di A non coincidono necessariamente con quelli di una sua ridotta.

     

    Risposta di Ifrit
 
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