Esercizio teorico sul calcolo del polinomio carattersitico

Ho un dubbio che riguarda il polinomio caratteristico di una matrice. È possibile calcolare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A

p_(A)(λ) = det(A−λ Id_n)

usando al posto di A una sua matrice ridotta a scala A'? In altri termini, in generale è vero che:

det(A−λ , Id_(n)) = det(A'−λ , Id_n) , ?

Grazie.

Domanda di peppe30
Soluzione

In generale, non è possibile calcolare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A, sostituendola con la sua ridotta. Per mostrare che non è vero, consideriamo la matrice 2×2

A = [1 1 ; 3 1]

e determiniamo la matrice ridotta a scala usando la mossa di Gauss

 R_2 → R_2−3 R_1 = [3 1]−3[1 1] = [3 1]−[3 3] = [0 −2]

La ridotta è

A'= [1 1 ; 0 −2]

A questo punto calcoliamo il polinomio caratteristico di A e quello della matrice ridotta A'.

Per definizione, il polinomio caratteristico di A è il determinante della matrice A−λ ,Id_2, dove λ è l'indeterminata del polinomio, mentre Id_2 è la matrice identità di ordine 2.

p_(A)(λ) = det(A−λ ,Id_2) = det[[1 1 ; 3 1]−λ[1 0 ; 0 1]] =

Calcoliamo il prodotto scalare-matrice

= det[[1 1 ; 3 1]−[λ 0 ; 0 λ]] =

e la somma matriciale

= det[1−λ 1 ; 3 1−λ] =

Il determinante della matrice 2×2 è semplice da calcolare: basta sottrarre al prodotto degli elementi della diagonale principale quello degli elementi della diagonale secondaria

= (1−λ)(1−λ)−3·1 = λ^2−2λ−2

Calcoliamo il polinomio caratteristico di A'

 p_(A')(λ) = det(A'−λ ,Id_(2)) = det[[1 1 ; 0 −2]−λ[1 0 ; 0 1]] = det[[1 1 ; 0 −2]−[λ 0 ; 0 λ]] = det[1−λ 1 ; 0 −2−λ] = (1−λ)(−2−λ)−1·0 = λ^2+λ−2

In definitiva, il polinomio caratteristico della matrice A e quello della ridotta A' sono

 p_(A)(λ) = λ^2−2λ−2 ; p_(A')(λ) = λ^2+λ−2

ed evidentemente non sono uguali.

Gli autovalori di una matrice non coincidono con quelli della sua ridotta

Attenzione! È opportuno evidenziare che p_(A)(λ) e p_(A')(λ) non hanno neppure le stesse radici, infatti

p_(A)(λ) = 0 ⇔ λ = 1−√(3) ∨ λ = 1+√(3)

mentre

p_(A')(λ) = 0 ⇔ λ = −2 ∨ λ = 1

Ne segue che gli autovalori di A non coincidono necessariamente con quelli di una sua ridotta.

Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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