Esercizio teorico sul calcolo del polinomio carattersitico
Ho un dubbio che riguarda il polinomio caratteristico di una matrice. È possibile calcolare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata
usando al posto di una sua matrice ridotta a scala
? In altri termini, in generale è vero che:
Grazie.
In generale, non è possibile calcolare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata , sostituendola con la sua ridotta. Per mostrare che non è vero, consideriamo la matrice
e determiniamo la matrice ridotta a scala usando la mossa di Gauss
La ridotta è
A questo punto calcoliamo il polinomio caratteristico di e quello della matrice ridotta
.
Per definizione, il polinomio caratteristico di è il determinante della matrice
, dove
è l'indeterminata del polinomio, mentre
è la matrice identità di ordine 2.
Calcoliamo il prodotto scalare-matrice
e la somma matriciale
Il determinante della matrice è semplice da calcolare: basta sottrarre al prodotto degli elementi della diagonale principale quello degli elementi della diagonale secondaria
Calcoliamo il polinomio caratteristico di
In definitiva, il polinomio caratteristico della matrice e quello della ridotta
sono
ed evidentemente non sono uguali.
Gli autovalori di una matrice non coincidono con quelli della sua ridotta
Attenzione! È opportuno evidenziare che e
non hanno neppure le stesse radici, infatti
mentre
Ne segue che gli autovalori di non coincidono necessariamente con quelli di una sua ridotta.
Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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