Esercizio teorico sul calcolo del polinomio carattersitico

Question

Ho un dubbio che riguarda il polinomio caratteristico di una matrice. È possibile calcolare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A p_(A)(λ) = det(A-λ Id_n) usando al posto di A una sua matrice ridotta a scala A'? In altri termini, in generale è vero che: det(A-λ , Id_(n)) = det(A'-λ , Id_n) , ? Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

In generale, non è possibile calcolare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata A, sostituendola con la sua ridotta. Per mostrare che non è vero, consideriamo la matrice 2×2 A = [1 1 ; 3 1] e determiniamo la matrice ridotta a scala usando la mossa di Gauss ; R_2 → R_2-3 R_1 = [3 1]-3[1 1] = [3 1]-[3 3] = [0 -2] La ridotta è A' = [1 1 ; 0 -2] A questo punto calcoliamo il polinomio caratteristico di A e quello della matrice ridotta A'. Per definizione, il polinomio caratteristico di A è il determinante della matrice A-λ ,Id_2, dove λ è l'indeterminata del polinomio, mentre Id_2 è la matrice identità di ordine 2. p_(A)(λ) = det(A-λ ,Id_2) = det[[1 1 ; 3 1]-λ[1 0 ; 0 1]] = Calcoliamo il prodotto scalare-matrice = det[[1 1 ; 3 1]-[λ 0 ; 0 λ]] = e la somma matriciale = det[1-λ 1 ; 3 1-λ] = Il determinante della matrice 2×2 è semplice da calcolare: basta sottrarre al prodotto degli elementi della diagonale principale quello degli elementi della diagonale secondaria = (1-λ)(1-λ)-3·1 = λ^2-2λ-2 Calcoliamo il polinomio caratteristico di A' ; p_(A')(λ) = det(A'-λ ,Id_(2)) = det[[1 1 ; 0 -2]-λ[1 0 ; 0 1]] = det[[1 1 ; 0 -2]-[λ 0 ; 0 λ]] = det[1-λ 1 ; 0 -2-λ] = (1-λ)(-2-λ)-1·0 = λ^2+λ-2 In definitiva, il polinomio caratteristico della matrice A e quello della ridotta A' sono ; p_(A)(λ) = λ^2-2λ-2 ; p_(A')(λ) = λ^2+λ-2 ed evidentemente non sono uguali. Gli autovalori di una matrice non coincidono con quelli della sua ridotta Attenzione! È opportuno evidenziare che p_(A)(λ) e p_(A')(λ) non hanno neppure le stesse radici, infatti p_(A)(λ) = 0 ⇔ λ = 1-√(3) ∨ λ = 1+√(3) mentre p_(A')(λ) = 0 ⇔ λ = -2 ∨ λ = 1 Ne segue che gli autovalori di A non coincidono necessariamente con quelli di una sua ridotta.