Dominio di una funzione logaritmica e con radice

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Ho bisogno di una mano con il calcolo del dominio di una funzione con logaritmo e radice quadrata. Ho imposto tutte le dovute condizioni di esistenza, ma non c'è stato verso, l'insieme di definizione che ottengo è diverso da quello del libro.

 

Calcolare il dominio della seguente funzione

 

f(x)=\ln(x)-\sqrt{\frac{8}{3}\ln(x)+1}

Domanda di silvia91

 
Soluzioni

  • Calcoliamo il dominio della funzione

    f(x)=\ln(x)-\sqrt{\frac{8}{3}\ln(x)+1}

    imponendo le opportune condizioni di esistenza che vanno in seguito messe a sistema perché devono valere contemporaneamente.

    Affinché i logaritmi naturali siano ben definiti, richiediamo che i loro argomenti siano maggiori di 0, vale a dire:

    x>0

    Per far sì che la radice con indice pari esista dobbiamo invece pretendere che il suo radicando sia maggiore o al più uguale a 0, ricavando così la disequazione logaritmica

    \frac{8}{3}\ln(x)+1\ge 0

    Per risolverla isoliamo il logaritmo al primo membro, dopodiché applichiamo l'esponenziale

    \frac{8}{3}\ln(x)\ge -1 \ \to \ \ln(x)\ge -\frac{3}{8} \ \to \ x\ge e^{-\frac{3}{8}}

    Intersecando le due condizioni ricaviamo che il dominio della funzione è

    Dom(f)=\left[e^{-\frac{3}{8}}, +\infty\right)

    Ecco fatto.

    Risposta di Ifrit
 
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