Lunghezza di una curva spezzando l'integrale

Ragazzi ho problemi nel calcolare la lunghezza di questa curva parametrica regolare a tratti, ho provato a spezzare l'integrale della formula sugli intervalli di regolarità, ma non so se ho fatto bene.

La curva è r(t) = [cos^3(t), sin^3(t)] e devo calcolarne la lunghezza sull'intervallo [0,2π]

Ho verificato che la curva è regolare a tratti , nel calcolarne la lunghezza ho quindi spezzato la curva sui 4 intervalli: tra 0 e Pi/2, tra Pi/2 e Pi, tra Pi e 3Pi/2 e tra 3Pi/2 e 2Pi. Però il risultato mi esce uguale a 0, è possibile o mi sto sbagliando?

Domanda di Cimino
Soluzioni

Ciao cimino arrivo :D

Risposta di Ifrit

Iniziamo: faremo riferimento al metodo per calcolare la lunghezza di una curva

r(t) = (cos^3(t), sin^3(t)) t∈ [0,2π]

deriviamo rispetto a t le componendi di r(t)

r'(t) = (-3cos^2(t)sin(t), 3cos(t)sin^2(t))

la cui norma è:

||r'(t)|| = √(9cos^4(t)sin^2(t)+9cos^2(t)sin^4(t)) =

= √(9cos^2(t)sin^2(t)(cos^2(t)+sin^2(t))) =

= 3√(cos^2(t)sin^2(t)) = 3|cos(t)sin(t)| = 3|(sin(2t))/(2)|

A questo punto hai correttamente osservato che la funzione è regolare a tratti e hai ottenuto 4 integrali, ma secondo la mia opinione credo che tu non abbia preso in considerazione il valore assoluto.

Fino a qui è chiaro?

Risposta di Ifrit

sì fino a qui chiaro

Risposta di Cimino

A questo punto calcoliamo gli integrali:

∫_(0)^((π)/(2))3|(sin(2t))/(2)|dt =

Nell'intervallo di integrazione la funzione 

(sin(2t))/(2) ≥ 0

quindi possiamo togliere il valore assoluto

L_1 = ∫_(0)^((π)/(2))3(sin(2t))/(2)dt = [-(3)/(4)cos(2t)]_(0)^((π)/(2)) =

= (3)/(4)+(3)/(4) = (3)/(2)

mentre

∫_((π)/(2))^(π)3|(sin(2t))/(2)|dt =

Nell'intervallo di integrazione la funzione 

(sin(2t))/(2) ≤ 0

per la definizione di valore assoluto abbiamo:

L_2 = ∫_((π)/(2))^(π)-3(sin(2t))/(2)dt = -[-(3)/(4)cos(2t)]_((π)/(2))^(π) = (3)/(2)

Inoltre:

∫_(π)^((3)/(2)π)3|(sin(2t))/(2)|dt =

Nell'intervallo di integrazione la funzione 

(sin(2t))/(2) ≥ 0

per la definizione di valore assoluto abbiamo:

L_3 = ∫_(π)^((3)/(2)π)3(sin(2t))/(2)dt = [-(3)/(4)cos(2t)]_(π)^((3π)/(2)) = (3)/(2)

Infine:

∫_((3)/(2)π)^(2π)3|(sin(2t))/(2)|dt =

Nell'intervallo di integrazione la funzione 

(sin(2t))/(2) ≤ 0

per la definizione di valore assoluto abbiamo:

L_4 = ∫_(π)^((3)/(2)π)-3(sin(2t))/(2)dt = -[-(3)/(4)cos(2t)]_((3)/(2)π)^(2π) = (3)/(2)

Sommando gli integrali abbiamo:

L = L_1+L_2+L_3+L_4 = 4·(3)/(2) = 6

Risposta di Ifrit

ah ho capito! grazie 1000!

Risposta di Cimino

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