Soluzioni
  • Ciao cimino arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Iniziamo: faremo riferimento al metodo per calcolare la lunghezza di una curva

    r(t)= (\cos^3(t), \sin^3(t))\quad t\in [0,2\pi]

    deriviamo rispetto a t le componendi di r(t)

    r'(t)= (-3\cos^2(t)\sin(t), 3\cos(t)\sin^2(t) )

    la cui norma è:

    ||r'(t)||= \sqrt{9\cos^4(t)\sin^2(t)+9\cos^2(t)\sin^4(t)}=

    =\sqrt{9\cos^2(t)\sin^2(t)(\cos^2(t)+\sin^2(t))}=

    =3\sqrt{\cos^2(t)\sin^2(t)}=3|\cos(t)\sin(t)|= 3\left|\frac{\sin(2t)}{2}\right|

    A questo punto hai correttamente osservato che la funzione è regolare a tratti e hai ottenuto 4 integrali, ma secondo la mia opinione credo che tu non abbia preso in considerazione il valore assoluto.

    Fino a qui è chiaro?

    Risposta di Ifrit
  • sì fino a qui chiaro

    Risposta di Cimino
  • A questo punto calcoliamo gli integrali:

     

    \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}3\left|\frac{\sin(2t)}{2}\right|dt=

    Nell'intervallo di integrazione la funzione 

    \frac{\sin(2t)}{2}\ge 0

    quindi possiamo togliere il valore assoluto

    L_1=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}3\frac{\sin(2t)}{2}dt=\left[-\frac{3}{4}\cos(2t)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}=

    =\frac{3}{4}+\frac{3}{4}= \frac{3}{2}

     

    mentre

    \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}3\left|\frac{\sin(2t)}{2}\right|dt=

    Nell'intervallo di integrazione la funzione 

    \frac{\sin(2t)}{2}\le 0

    per la definizione di valore assoluto abbiamo:

    L_2=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}-3\frac{\sin(2t)}{2}dt=-\left[-\frac{3}{4}\cos(2t)\right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}= \frac{3}{2}

    Inoltre:

    \int_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi}3\left|\frac{\sin(2t)}{2}\right|dt=

    Nell'intervallo di integrazione la funzione 

    \frac{\sin(2t)}{2}\ge 0

    per la definizione di valore assoluto abbiamo:

    L_3=\int_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi}3\frac{\sin(2t)}{2}dt=\left[-\frac{3}{4}\cos(2t)\right]_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}= \frac{3}{2}

     

    Infine:

    \int_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi}3\left|\frac{\sin(2t)}{2}\right|dt=

    Nell'intervallo di integrazione la funzione 

    \frac{\sin(2t)}{2}\le 0

    per la definizione di valore assoluto abbiamo:

    L_4=\int_{\pi}^{\frac{3}{2}\pi}-3\frac{\sin(2t)}{2}dt=-\left[-\frac{3}{4}\cos(2t)\right]_{\frac{3}{2}\pi}^{2\pi}= \frac{3}{2}

    Sommando gli integrali abbiamo:

    L=L_1+L_2+L_3+L_4= 4\cdot \frac{3}{2}= 6

    Risposta di Ifrit
  • ah ho capito! grazie 1000!

    Risposta di Cimino
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