Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2-3x+1}-x)=(\bullet)

    genere una forma indeterminata [+\infty-\infty] che possiamo risolvere mediante razionalizzazione, ossia moltiplicando e dividendo per il termine

    \sqrt{x^2-3x+1}+x

    Il limite si esprime nella forma equivalente

    (\bullet)=\lim_{x\to+\infty}\frac{(\sqrt{x^2-3x+1}-x)(\sqrt{x^2-3x+1}+x)}{\sqrt{x^2-3x+1}+x}=

    Eseguiamo il prodotto al numeratore utilizzando la regola relativa al prodotto tra una somma e una differenza

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{(\sqrt{x^2-3x+1})^2-x^2}{\sqrt{x^2-3x+1}+x}=

    In accordo con la definizione di radice quadrata, l'azione del quadrato fa sparire la radice

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2-3x+1-x^2}{\sqrt{x^2-3x+1}+x}=

    e sommando tra loro i termini simili giungiamo al limite equivalente

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{-3x+1}{\sqrt{x^2-3x+1}+x}=

    Raccogliamo x^2 all'interno del radicando

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{-3x+1}{\sqrt{x^2\left(1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}+x}=

    e utilizziamo la proprietà dei radicali che ci permette di esprimere la radice quadrata del prodotto come prodotto delle radici dei singoli fattori, a patto che questi ultimi siano non negativi.

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{-3x+1}{\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}+x}=(\bullet)

    In accordo con la definizione di valore assoluto, sappiamo sussistere l'identità

    \sqrt{x^2}=|x| \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

    con cui possiamo scrivere il limite come segue:

    (\bullet)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-3x+1}{|x|\cdot\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}+x}=

    Poiché la variabile x tende a +\infty, essa è definitivamente positiva, dunque |x|=x per x>0

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{-3x+1}{x\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}+x}=

    Raccogliamo totalmente x sia al numeratore che al denominatore dopodiché semplifichiamo in modo opportuno:

    \\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{x\left(-3+\frac{1}{x}\right)}{x\left(\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}+1\right)}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{-3+\frac{1}{x}}{\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}

    Osserviamo ora che tutti i termini che hanno una potenza di x al denominatore tendono a 0 quando x\to+\infty pertanto possiamo concludere che il limite è -\frac{3}{2}

    \lim_{x\to+\infty}\frac{-3+\frac{1}{x}}{\sqrt{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}=-\frac{3}{2}

    Abbiamo portato a termine il nostro compito.

    Risposta di Ifrit
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