Limite per x che tende a + infinito di una radice

Il limite

genere una forma indeterminata che possiamo risolvere mediante razionalizzazione, ossia moltiplicando e dividendo per il termine

Il limite si esprime nella forma equivalente

Eseguiamo il prodotto al numeratore utilizzando la regola relativa al prodotto tra una somma e una differenza

In accordo con la definizione di radice quadrata, l'azione del quadrato fa sparire la radice

e sommando tra loro i termini simili giungiamo al limite equivalente

Raccogliamo all'interno del radicando

e utilizziamo la proprietà dei radicali che ci permette di esprimere la radice quadrata del prodotto come prodotto delle radici dei singoli fattori, a patto che questi ultimi siano non negativi.

In accordo con la definizione di valore assoluto, sappiamo sussistere l'identità

con cui possiamo scrivere il limite come segue:

Poiché la variabile tende a , essa è definitivamente positiva, dunque per

Raccogliamo totalmente sia al numeratore che al denominatore dopodiché semplifichiamo in modo opportuno:

Osserviamo ora che tutti i termini che hanno una potenza di al denominatore tendono a 0 quando pertanto possiamo concludere che il limite è

Abbiamo portato a termine il nostro compito.