Limite per x che tende a - infinito

Devo calcolare il limite della somma tra una funzione irrazionale e una funzione polinomiale per x che tende a - infinito. Ad un'analisi preliminare scaturisce la forma indeterminata $[+\infty-\infty]$ che però non so sciogliere.

$\lim_{x\to -\infty}[4\sqrt{x^2-4}+4x]$

Grazie.

Domanda di silvia91

Soluzioni

Il limite
$\lim_{x\to -\infty}[4\sqrt{x^2-4}+4x]=[+\infty-\infty]=$
si presenta nella forma indeterminata $[+\infty-\infty]$ perché a conti fatti per $x\to -\infty$ la radice con indice pari tende a $+\infty$ mentre il termine polinomiale tende a $-\infty$ .
Al fine di di sciogliere la forma indeterminata possiamo pensar bene di eseguire una razionalizzazione, ossia moltiplicheremo e divideremo per il termine $(4\sqrt{x^2-4}-4x)$
$=\lim_{x\to -\infty}\frac{(4\sqrt{x^2-4}+4x)(4\sqrt{x^2-4}-4x)}{4\sqrt{x^2-4}-4x}=$
In accordo con la regola sul prodotto tra una somma e una differenza scriviamo il limite nella forma equivalente
$=\lim_{x\to -\infty}\frac{(4\sqrt{x^2-4})^2-(4x)^2}{4\sqrt{x^2-4}-4x}=$
ed eseguendo con cautela i calcoli, il limite da risolvere diventa
$\\ =\lim_{x\to -\infty}\frac{16(x^2-4)-16x^2}{4\sqrt{x^2-4}-4x}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to -\infty}\frac{16 x^2-64-16x^2}{4\sqrt{x^2-4}-4x}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to -\infty}\frac{-64}{4\sqrt{x^2-4}-4x}=\left[\frac{-64}{+\infty}\right]=0$
Il risultato è 0 in accordo con l'algebra degli infiniti e degli infinitesimi, osserviamo infatti che quando $x\to -\infty$ il denominatore tende a $+\infty$ .
Risposta di Ifrit

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