Soluzioni
  • Ciao WhiteC arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • WhiteC seguimi perché un esercizio, non difficile, ma delicato.

    Abbiamo la funzione:

    f(x)=\frac{1}{2}x^2(3-2\log(x))+1

    Dobbiamo verificare che esiste ed è unico x_0\in[0,+\infty) tale che:

    f(x_0)=0

    Dimostriamo l'esistenza:

    Verrà in nostro soccorso il teorema di Bolzano generalizzato. Calcoliamo i limiti agli estremi dell'intervallo:

    \lim_{x\to 0^+}f(x)= \lim_{x\to 0^+}x^2(3-2\log(x))+1=1

    mentre:

    \lim_{x\to +\infty}f(x)= -\infty

    La funzione è continua nell'intervallo (0, +infinito) inoltre agli estremi dell'intervallo, i limiti hanno valori discordi. Per il teorema degli zeri esiste almeno un x0 che appartiene a (0, +infinito) per il quale:

    f(x_0)=0

    Dobbiamo dimostrare ora l'unicità:

    Per l'unicità è utile calcolare la derivata prima e sperare che sia monotona (non è questo il caso purtroppo :( )

    La derivata prima è:

    f'(x)= 2x(1-\log(x))

    Vediamo per quali valori si annulla:

    f'(x)=0\iff 2x=0\vee 1-\log(x)=0

    Dalla prima equazione otteniamo 

    x=0 ma non è accettabile perché non appartiene al dominio

    dalla seconda equazione otteniamo:


    1-\log(x)=0\iff \log(x)=1\iff x=e

    x=e è il candidato punto di massimo o di minimo relativo :)

    Studiamo il segno della derivata prima:

    f'(x)>0\iff 2x(1-\log(x))>0\iff 1-\log(x)>0\iff x<e

    Quindi la derivata prima è positiva se:

    0<x<e

    mentre è negativa per x>e

    Possiamo quindi asserire che la funzione cresce se 0<x<e mentre decresce se:

    e<x<+\infty

    Possiamo asserire che x=e è un massimo assoluto per la funzione, il massimo vale:

    f(e)=1+\frac{e^2}{2}>0

    Possiamo concludere immediatamente che:

    La funzione f è positiva in x\in (0, e)

    e conseguentemente non abbiamo zeri.  Ora lavoriamo nell'intervallo [e, +\infty)

    In questo caso abbiamo che:

    f(e)>0

    mentre abbiamo visto prima che:

    \lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty

    quindi abbiamo che il punto x_0\in [e, +\infty)

    Inoltre la monotonia della funzione nell'intervallo [e, +infinito) ci permette di concludere che la soluzione è unica.

     

     

    Risposta di Ifrit
  • dopo hai concluso, calcolando i valori in cui si annulla, che una soluzione è uguale ad e....ma allora il log lo consideri in base e?mica un qualunque logaritmo, quando uguale ad 1, da e come risultato?

    Risposta di WhiteC
  • No, aspetta, non ho determinato il punto in cui si annulla, ho solo dimostrato che esiste ed è unico il valore x_0\in [0,+\infty) nel quale la funzione si annulla. 

    Comunque sì, ho considerato il logaritmo in base "e", perché è quello classico. All'università si usa indistintamente \log(x) o \ln(x) per indicare il logaritmo in base e. Di solito per indicare il logaritmo in base 10 si utilizza la notazione \mbox{Log}(x), con la lettera maiuscola. Nel caso in cui non viene indicata la base, devi considerare il logaritmo in base e.

     

    Risposta di Ifrit
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