Soluzioni
  • Ciao Lhsahn666, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Il testo non è chiaro, prima di procedere mi serve una conferma sul limite: è questo?

    \lim_{x\to 0}{\frac{\sqrt{e^{x}-1}\log{(\sqrt{x}+1)}-\arctan{(\sin{(x)})}}{\sin{(\log{(\sin{(x)}+1)})}}}

    Risposta di Omega
  • Si si è questo

    Risposta di Ihsahn666
  • In tal caso si può procedere effettuando opportune sostituzioni: quelle dettate dai limiti notevoli, che ci permettono di riscrivere il limite in una forma più semplice sulla base di equivalenze asintotiche, non funzionano. E' necessario ricorrere agli sviluppi in serie di Taylor: li hai studiati?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Nozioni di base...spero di riuscire a capire qualcosa :)

    Risposta di Ihsahn666
  • Ok :)

    Degli sviluppi in serie di Taylor ne parliamo in svariate D&R e discussioni del Forum, allo stesso modo puoi trovare molti esercizi svolti sul calcolo di limiti con gli sviluppi di Taylor: se vuoi approfondire puoi provare ad effettuare una ricerca. Wink

    Il succo del discorso, qui, è che effettuando le sostituzioni mediante le equivalenze asintotiche dei limiti notevoli non andiamo molto lontano (Limiti notevoli: quali sono | Limiti notevoli: come si usano). Otterremo, dopo aver applicato tutte le sostituzioni per equivalenza asintotica:

    \lim_{x\to 0}{\frac{\sqrt{x}\sqrt{x}-x}{x}}

    e non potremmo procedere oltre perché a numeratore avremmo apparentemente uno zero e non un infinitesimo. In realtà a numeratore abbiamo un infinitesimo che possiamo stimare nell'ordine, e i limiti notevoli ci indurrebbero a pensare di avere uno zero preciso preciso solo perché effettuano delle stime troppo larghe.

    Per questo motivo, bisogna ricorrere agli sviluppi in serie di Taylor.

    Ora: questo esercizio è abbastanza duretto se non hai particolare dimestichezza con Taylor, perché per sviluppare le funzioni che compaiono a numeratore bisogna procedere per composizione di sviluppi.

    Ad ogni modo, dopo aver effettuato i calcoli si trova che

    \sqrt{e^x-1}\log{(\sqrt{x}+1)}-\arctan{(\sin{(x)})}\sim_{x\to 0} -\frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}}

    cosicché se ne deduce che il limite proposto vale zero. A denominatore non è necessario ricorrere agli sviluppi, perché non abbiamo alcuna differenza di funzioni.

    Io ti consiglierei di approfondire un po' l'argomento partendo da limiti più semplici, risolubili con gli sviluppi in serie (qui su YM ne trovi un bel po', tutti risolti). Fatto questo, quando hai un po' di dimestichezza, torniamo su questa D&R e la concludiamo, ok?

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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