Soluzioni
  • Ciao Luigi2110 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo la seguente funzione:

    f(x)= \begin{cases}a\sqrt{x+4}-6&\mbox{ se }-4\le x<0\\ \ln(bx+1)+2b&\mbox{ se }x\ge 0\end{cases}

     

    Ora la funzione è continua in zero se e solo se il limite destro e il limite sinistro per x che tende a zero esistono finiti  e coincidono:

    f_{-}(0)=\lim_{x\to 0^-}f(x)= \lim_{x\to 0^-}a\sqrt{x+4}-6= 2a-6

    Mentre:

    f_{+}(0)\lim_{x\to 0^+}f(x)= \lim_{x\to 0^+}\ln(bx+1)+2b=2b

    La funzione è continua in zero se e solo se:

    f_{-}(0)=f_{+}(0)\iff 2a-6=2b\iff b= a-3

    Tieni a mente questa condizionione.

    Per quanto riguarda la derivabilità in 0 dobbiamo richiedere che:

    f'_{-}(0)= \lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}

    e

    f'_{+}(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}

    esistono finiti e coincidono. 

    Concentriamoci sul primo limite:

    f'_{-}(0)= \lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}

    Nota che:

    f(0+h)= f(h)= a\sqrt{h+4}-6\quad -4<h<0

    mentre

    f(0)=2b= 2a-6

     

    Conseguentemente:

    f'_{-}(0)= \lim_{h\to 0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{a\sqrt{h+4}-6-2a+6}{h}=

     

    \lim_{h\to 0^-}\frac{a\sqrt{h+4}-2a}{h}=

    \lim_{h\to 0^-}\frac{a(\sqrt{h+4}-2)}{h}

    Mettiamo in evidenza 2:

    \lim_{h\to 0^-}\frac{2a\left(\frac{\sqrt{h+4}}{2}-1\right)}{h}=

    \lim_{h\to 0^-}\frac{2a\left(\sqrt{\frac{h+4}{4}}-1\right)}{h}=

    \lim_{h\to 0^-}\frac{2a\left(\sqrt{\frac{h}{4}+1}-1\right)}{h}=

    Moltiplichiamo e dividiamo per 4 al denominatore:

    \lim_{h\to 0^-}\frac{2a\left(\sqrt{\frac{h}{4}+1}-1\right)}{4\frac{h}{4}}=

    A questo punto poniamo t=h/4, il limite diventa:

    \lim_{t\to 0^-}\frac{2a\left(\sqrt{t+1}-1\right)}{4t}=

    \frac{2a}{4}\lim_{t\to 0^-}\frac{\sqrt{t+1}-1}{t}= \frac{a}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{a}{4}

     

    Quindi:

    f'_{-}(0)= \frac{a}{4}

     

    Consideriamo ora l'altro limite:

    f'_{+}(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}

    In questo caso:

    f(0+h)= f(h)= \ln(b h+1)+2b\quad h>0

    mentre

    f(0)= 2b

    di conseguenza:

    f'_{+}(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=

    \lim_{h\to 0^+}\frac{\ln(b h+1)+2b-2b}{h}=

    \lim_{h\to 0^+}\frac{\ln(1+bh)}{h}

    Moltiplichiamo e dividiamo per b diverso da zero:

    \lim_{h\to 0^+}b\frac{\ln(1+bh)}{bh}

    Per il limite notevole del logaritmo:

    b\overbrace{\lim_{h\to 0^+}\frac{\ln(1+bh)}{bh}}^{=1}= b

    A questo punto imponiamo l'uguaglianza f'_{+}(0)=f'_{-}(0)

    Da cui:

    b= \frac{a}{4}

    Nella precedente condizione abbiamo visto che

    b=a-3

    sostituiamo:

    a-3= \frac{a}{4}\iff a=4

    mentre

    b= a-3= 4-3=1

    Dunque la funzione è continua è derivabile in 0 se e solo se a=4, b=1

    Risposta di Ifrit
  • non capisco una cosa:  ma sela funzione è continua non è pure derivabile? perche dobbiamo anche imporre condizioni per la derivabilità?

    Risposta di Luigi2110
  • No, attenzione! 

    Se la funzione è derivabile in un punto allora è continua in tale punto, ma non vale il viceversa.

    Non è detto che se una funzione è continua in un punto x_0 allora è derivabile in x_0.

    Il controesempio classico:

    La funzione valore assoluto è continua in 0 ma non è derivabile in tale punto :)

    Risposta di Ifrit
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