Funzione definita a tratti con parametri continua e derivabile

  1. Home
  2. Domande e Risposte
  3. Università - Analisi

Salve ho una funzione definita a tratti con 2 parametri e devo stabilire per quali valori è continua e derivabile.

 

f(x) = a√(x+4)-6 se -4 ≤ x < 0 ; ln(bx+1)+2b se x ≥ 0

 

Devo determinare il valore dei parametri a e b affinché la funzione sia continua e derivabile in x=0. Io so quando una funzione è continua in un punto, tuttavia non riesco a risolvere questo esercizio. Potreste spiegarmi i passaggi che si devono fare?

Domanda di Luigi2110

 
Soluzioni

  • Ciao Luigi2110 arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Abbiamo la seguente funzione:

    f(x) = a√(x+4)-6 se -4 ≤ x < 0 ; ln(bx+1)+2b se x ≥ 0

     

    Ora la funzione è continua in zero se e solo se il limite destro e il limite sinistro per x che tende a zero esistono finiti  e coincidono:

    f_(-)(0) = lim_(x → 0^-)f(x) = lim_(x → 0^-)a√(x+4)-6 = 2a-6

    Mentre:

    f_(+)(0)lim_(x → 0^+)f(x) = lim_(x → 0^+)ln(bx+1)+2b = 2b

    La funzione è continua in zero se e solo se:

    f_(-)(0) = f_(+)(0) ⇔ 2a-6 = 2b ⇔ b = a-3

    Tieni a mente questa condizionione.

    Per quanto riguarda la derivabilità in 0 dobbiamo richiedere che:

    f'_(-)(0) = lim_(h → 0^-)(f(0+h)-f(0))/(h)

    e

    f'_(+)(0) = lim_(h → 0^+)(f(0+h)-f(0))/(h)

    esistono finiti e coincidono. 

    Concentriamoci sul primo limite:

    f'_(-)(0) = lim_(h → 0^-)(f(0+h)-f(0))/(h)

    Nota che:

    f(0+h) = f(h) = a√(h+4)-6-4 < h < 0

    mentre

    f(0) = 2b = 2a-6

     

    Conseguentemente:

    f'_(-)(0) = lim_(h → 0^-)(f(h)-f(0))/(h) = lim_(h → 0^-)(a√(h+4)-6-2a+6)/(h) =

     

    lim_(h → 0^-)(a√(h+4)-2a)/(h) =

    lim_(h → 0^-)(a(√(h+4)-2))/(h)

    Mettiamo in evidenza 2:

    lim_(h → 0^-)(2a((√(h+4))/(2)-1))/(h) =

    lim_(h → 0^-)(2a(√((h+4)/(4))-1))/(h) =

    lim_(h → 0^-)(2a(√((h)/(4)+1)-1))/(h) =

    Moltiplichiamo e dividiamo per 4 al denominatore:

    lim_(h → 0^-)(2a(√((h)/(4)+1)-1))/(4(h)/(4)) =

    A questo punto poniamo t=h/4, il limite diventa:

    lim_(t → 0^-)(2a(√(t+1)-1))/(4t) =

    (2a)/(4)lim_(t → 0^-)(√(t+1)-1)/(t) = (a)/(2)·(1)/(2) = (a)/(4)

     

    Quindi:

    f'_(-)(0) = (a)/(4)

     

    Consideriamo ora l'altro limite:

    f'_(+)(0) = lim_(h → 0^+)(f(0+h)-f(0))/(h)

    In questo caso:

    f(0+h) = f(h) = ln(b h+1)+2b h > 0

    mentre

    f(0) = 2b

    di conseguenza:

    f'_(+)(0) = lim_(h → 0^+)(f(0+h)-f(0))/(h) =

    lim_(h → 0^+)(ln(b h+1)+2b-2b)/(h) =

    lim_(h → 0^+)(ln(1+bh))/(h)

    Moltiplichiamo e dividiamo per b diverso da zero:

    lim_(h → 0^+)b(ln(1+bh))/(bh)

    Per il limite notevole del logaritmo:

    blim_(h → 0^+)(ln(1+bh))/(bh) (= 1) = b

    A questo punto imponiamo l'uguaglianza f'_(+)(0) = f'_(-)(0)

    Da cui:

    b = (a)/(4)

    Nella precedente condizione abbiamo visto che

    b = a-3

    sostituiamo:

    a-3 = (a)/(4) ⇔ a = 4

    mentre

    b = a-3 = 4-3 = 1

    Dunque la funzione è continua è derivabile in 0 se e solo se a=4, b=1

    Risposta di Ifrit

  • non capisco una cosa:  ma sela funzione è continua non è pure derivabile? perche dobbiamo anche imporre condizioni per la derivabilità?

    Risposta di Luigi2110

  • No, attenzione! 

    Se la funzione è derivabile in un punto allora è continua in tale punto, ma non vale il viceversa.

    Non è detto che se una funzione è continua in un punto x_0 allora è derivabile in x_0.

    Il controesempio classico:

    La funzione valore assoluto è continua in 0 ma non è derivabile in tale punto :)

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
Le più lette
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi Matematica