Problemi con discussione di equazioni goniometriche parametriche

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Ciao ragazzi mi spiegate come risolvere questo esercizio? E' una discussione di un problema di Trigonometria con un'equazione parametrica.

 

In un triangolo ABC si ha BC=2a e la mediana AM=a.

 

Tracciare l'altezza AD e porre l'angolo AmB=x.

 

1) Calcolare in funzione di a e di x le misure di AD, DM, BD, CD, AC.

 

2) Determinare x in modo che sia AD/BD=k, dove k è un numero dato.

 

[cot(x/2)=k...]...[1 sol. per k>0]

 

Grazie in anticipo.

Domanda di

 
Soluzioni

  • Ciao Gio, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Dopo aver disegnato la figura, segui il ragionamento.

    Con le relazioni trigonometriche per i triangoli rettangoli, in riferimento al triangolo rettangolo ADC, puoi calcolare

    AD = AMsin(x) = asin(x)

    DM = AMcos(x) = cos(x)

    poi, per differenza

    BD = BM-DM = a-acos(x) = a(1-cos(x))

    In seguito osserva che A hatMC = 180^(0)-x, ed essendo il triangolo AMC un triangolo isoscele possiamo calcolare la misura del lato AC con il teorema del coseno (teorema di Carnot)

    AC = AM^2+MC^2-2AM·MCcos((180^(o)-x)) = 2a^2-2a^2(-cos(x))

    La seconda uguaglianza deriva, in particolare, dalle relazioni trigonometriche per angoli associati

    Ciò conclude la prima parte dell'esercizio.

     

    Per la seconda parte è sufficiente imporre la condizione richiesta dall'esercizio

    (AD)/(BD) = k

    (asin(x))/(a(1-cos(x))) = k

    (sin(x))/(1-cos(x)) = k

    Dalle formule di bisezione possiamo riscrivere la precedente equazione nella forma

    cot(((x)/(2))) = k

    e ricordando quali valori assume la funzione cotangente al variare dell'angolo (Tangente e cotangente - Cotangente di x), puoi concludere in tutta tranquillità la discussione.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Grazie!

    Risposta di

  • In riferimento alla domanda parallela di M.Rita (questa):

    Per studiare l'equazione al variare del parametro k è sufficiente osservare che deve essere0 < x/2 < 90^(o), e che la cotangente su tale intervallo di ascisse assume tutti i valori positivi y > 0, quindi affinché l'equazione sia risolubile è sufficiente richiedere che k > 0.

    In tale eventualità una qualsiasi retta orizzontale y = k interseca il grafico della cotangente una ed una sola volta, il che significa che l'equazione cot(x/2) ammette un'unica soluzione.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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