Soluzioni
  • Ciao Gio, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Dopo aver disegnato la figura, segui il ragionamento.

    Con le relazioni trigonometriche per i triangoli rettangoli, in riferimento al triangolo rettangolo ADC, puoi calcolare

    AD=AM\sin{(x)}=a\sin{(x)}

    DM=AM\cos{(x)}=\cos{(x)}

    poi, per differenza

    BD=BM-DM=a-a\cos{(x)}=a(1-\cos{(x)})

    In seguito osserva che A\hat{M}C=180^{0}-x, ed essendo il triangolo AMC un triangolo isoscele possiamo calcolare la misura del lato AC con il teorema del coseno (teorema di Carnot)

    AC=AM^2+MC^2-2AM\cdot MC\cos{(180^{o}-x)}=2a^2-2a^2(-\cos{(x)})

    La seconda uguaglianza deriva, in particolare, dalle relazioni trigonometriche per angoli associati

    Ciò conclude la prima parte dell'esercizio.

     

    Per la seconda parte è sufficiente imporre la condizione richiesta dall'esercizio

    \frac{AD}{BD}=k

    \frac{a\sin{(x)}}{a(1-\cos{(x)})}=k

    \frac{\sin{(x)}}{1-\cos{(x)}}=k

    Dalle formule di bisezione possiamo riscrivere la precedente equazione nella forma

    \cot{\left(\frac{x}{2}\right)}=k

    e ricordando quali valori assume la funzione cotangente al variare dell'angolo (Tangente e cotangente - Cotangente di x), puoi concludere in tutta tranquillità la discussione.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie!

    Risposta di
  • In riferimento alla domanda parallela di M.Rita (questa):

    Per studiare l'equazione al variare del parametro k è sufficiente osservare che deve essere0<x/2<90^{o}, e che la cotangente su tale intervallo di ascisse assume tutti i valori positivi y>0, quindi affinché l'equazione sia risolubile è sufficiente richiedere che k>0.

    In tale eventualità una qualsiasi retta orizzontale y=k interseca il grafico della cotangente una ed una sola volta, il che significa che l'equazione \cot{(x/2)} ammette un'unica soluzione.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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