Soluzioni
  • Ciao Ale0795 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Grazie mille lfrit!!

    Risposta di Ale0795
  • Innanzitutto scriviamo il fascio di rette passanti per il punto P(k, 0)

    Utilizzeremo la formula:

    y-y_0= m(x-x_0)

    dove

    x_0, y_0 sono le coordinate del punto P di conseguenza:

    x_0= k, y_0=0

    L'equazione del fascio di rette è quindi:

    y-0=m(x-k)\iff y=m(x-k)

    Impostiamo il sistema tra il fascio di rette e la parabola:

    \begin{cases}y= 1-x^2\\ y=m(x-k)\end{cases}

    Procediamo per sostituzione in modo da ottenere la risolvente:

    1-x^2= m(x-k)\iff 1-x^2= mx-km\iff -x^2-mx+km+1=0

    Affinché una retta del fascio sia tangente alla parabola dobbiamo pretendere che il discriminante associato alla risolvente sia uguale a zero:

    \Delta= (-m)^2-4\cdot (-1)(km+1)\iff m^2+4k m+4

    Imponiamo che il delta sia nullo:

    m^2+4k m+4=0

    Troviamo il discriminante associato a questa equazione:

    \Delta_m=16k^2-16

    Ora se 

    \Delta_m>0\iff 16k^2-16>0\iff k^2>1\iff k<-1\vee k>1

    otterremo due soluzioni in m, quindi due rette tangenti del fascio 

    Le soluzioni sono quindi:

    m_1= \frac{-4k -\sqrt{16k^2-16}}{2}

    e

    m_2= \frac{-4k +\sqrt{16k^2-16}}{2}

    le rette quindi sono:

    y= \frac{-4k-\sqrt{16k^2-16}}{2}(x-k)

    e

    y=\frac{-4k+\sqrt{16k^2-16}}{2}(x-k)

    Se

    \Delta_m=0\iff 16k^2-16=0\iff 16k^2= 16\iff k^2= 1\iff k=\pm 1

    La soluzione è:

    m=\frac{-4k}{2}= -2k

    Per k=-1 abbiamo che la retta tangente passante per il punto P(-1, 0) è:

    y= -2(-1)(x-(-1))\iff y= 2(x+1)\iff y=2x+2

    Per k=1 abbiamo che la retta tangente passante per il punto P(1,0) è

    y=-2\cdot 1(x-1)\iff y=-2x+2

    Ora se 

    \Delta_m<0\iff 16k^2-16<0\iff k^2<1\iff -1<k<1

    l'equazione

    m^2+4k m+4=0

    non ha soluzioni quindi non abbiamo rette tangenti! :)

    Ricapitolando:

    Se

    k<-1\vee k>1

    abbiamo due rette tangenti passanti per il punto P(k, 0)

    Se

    k=-1

    abbiamo una sola retta tangente

    Se

    k=1

    abbiamo una sola retta tangente

    Se

    -1<k<1

    Non abbiamo rette tangenti alla parabola.

    Risposta di Ifrit
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Analisi