Soluzioni
  • Per trovare il dominio della funzione

    f(x)=\frac{\sqrt{\sin(x)-1}}{\ln(1-x^3)}

    è sufficiente imporre le seguenti condizioni di esistenza:

    - il radicando della radice con indice pari dev'essere maggiore o al più uguale a zero;

    - l'argomento del logaritmo dev'essere maggiore di zero;

    - il denominatore dev'essere non nullo.

    Tutti i vincoli devono essere verificati contemporaneamente e consentono di costruire il seguente sistema di disequazioni:

    \begin{cases}\sin(x)-1\ge 0 \\ \\ 1-x^3>0 \\ \\ \ln(1-x^3)\ne 0\end{cases}

    Osserviamo che la il seno è una funzione a valori in [-1,1] pertanto la disequazione goniometrica

    \sin(x)-1\ge 0 \ \to \ \sin(x)\ge 1

    ammette come soluzioni i punti della forma

    x=\frac{\pi}{2}+2k\pi

    al variare del numero intero k.

    Dedichiamoci alla risoluzione della disequazione di grado tre: è sufficiente isolare x^3 al primo membro e seguire i passaggi algebrici:

    1-x^3>0 \ \to \ x^3<1 \ \to \ x<1

    Ora tocca all'equazione logaritmica che per x<1 conduce alle soluzioni:

    \ln(1-x^3)\ne 0 \ \to \ 1-x^3\ne 1 \ \to \ x\ne 0

    Intersecando le tre condizioni, otteniamo che il dominio della funzione è formato da un insieme numerabile di punti del tipo

    x=\frac{\pi}{2}+k\pi

    che obbediscono al vincolo che x<1 \ \mbox{e} \ x\ne 0, vale a dire:

    \frac{\pi}{2}+k\pi<1 \ \mbox{e} \ \frac{\pi}{2}+k\pi \ne 0

    da cui, risolvendole rispetto all'intero k, ricaviamo che k\le -1.

    In definitiva, il dominio della funzione è

    Dom(f)=\left\{x\in\mathbb{R} \ : \ x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \mbox{con} \ k\le -1\right\}

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
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