Dominio di funzione, equazione trigonometrica

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Dovrei determinare il dominio di una funzione fratta con al numeratore una radice e al denominatore un logaritmo e, come se non bastasse, all'interno del radicando è presente un seno. Mi sono rifatto alle regole per il calcolo dell'insieme di esistenza senza però riuscire nell'intento.

 

Calcolare il dominio della funzione

 

f(x) = (√(sin(x)-1))/(ln(1-x^3))

Domanda di WhiteC

 
Soluzioni

  • Per trovare il dominio della funzione

    f(x) = (√(sin(x)-1))/(ln(1-x^3))

    è sufficiente imporre le seguenti condizioni di esistenza:

    - il radicando della radice con indice pari dev'essere maggiore o al più uguale a zero;

    - l'argomento del logaritmo dev'essere maggiore di zero;

    - il denominatore dev'essere non nullo.

    Tutti i vincoli devono essere verificati contemporaneamente e consentono di costruire il seguente sistema di disequazioni:

    sin(x)-1 ≥ 0 ; 1-x^3 > 0 ; ln(1-x^3) ne 0

    Osserviamo che la il seno è una funzione a valori in [-1,1] pertanto la disequazione goniometrica

    sin(x)-1 ≥ 0 → sin(x) ≥ 1

    ammette come soluzioni i punti della forma

    x = (π)/(2)+2kπ

    al variare del numero intero k.

    Dedichiamoci alla risoluzione della disequazione di grado tre: è sufficiente isolare x^3 al primo membro e seguire i passaggi algebrici:

    1-x^3 > 0 → x^3 < 1 → x < 1

    Ora tocca all'equazione logaritmica che per x < 1 conduce alle soluzioni:

    ln(1-x^3) ne 0 → 1-x^3 ne 1 → x ne 0

    Intersecando le tre condizioni, otteniamo che il dominio della funzione è formato da un insieme numerabile di punti del tipo

    x = (π)/(2)+kπ

    che obbediscono al vincolo che x < 1 e x ne 0, vale a dire:

    (π)/(2)+kπ < 1 e (π)/(2)+kπ ne 0

    da cui, risolvendole rispetto all'intero k, ricaviamo che k ≤ -1.

    In definitiva, il dominio della funzione è

    Dom(f) = x∈R : x = (π)/(2)+kπ con k ≤ -1

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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