Convergenza di una serie con radice e logaritmo

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Mi potreste aiutare con una serie numerica con termine fratto e con radice e logaritmo? Devo studiare la convergenza della serie

 

Σ_(n = 1)^(+∞)(√(n^4+1))/(ln(n^2+n))

Domanda di frascatano

 
Soluzioni

  • Ciao Frascatano, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Essendo la serie

    Σ_(n = 1)^(+∞)(√(n^4+1))/(ln(n^2+n))

    è sufficiente osservare che essa non soddisfa la condizione necessaria (ma non sufficiente) di convergenza di Cauchy: il termine generale è infatti una successione il cui limite è

    lim_(n → +∞)(√(n^4+1))/(ln(n^2+n)) = +∞

    dove il risultato si desume osservando che

    √(n^4+1) ~ _(n → +∞) √(n^4) = n^2

    mentre

    ln(n^2+n) ~ _(n → +∞)ln(n^2) = 2ln(n)

    dopodiché si applica il confronto tra i corrispondenti infiniti.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • scusami ho sbagliato a scrivere il testo nel numeratore ho anche un -n^2,, scusami tanto

    Risposta di frascatano

  • Non cambia nulla Wink

    n^4-n^2+1 ~ _(n → +∞) n^4

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Scusa il numeratore è

    {tex}\sqrt{n^4-1}- n^2, quando faccio il limite mi viene una forma indeterminata infinito - infinito quindi io uso il trucchetto di moltiplicare numeratore e denominatore per lo stesso con il segno + e avrò

    (1)/(2) n^2

    Ma poi come vado avanti?

    Risposta di frascatano

  • come faccio a dire che converge?

    Risposta di frascatano

  • In questa terza eventualità, devi ricorrere all'equivalenza asintotica del limite notevole

    lim_(n → +∞)((1+f(n))^(c)-1)/(f(n)) = c ⇔ (1+f(n))^(c)-1 ~ _(n → +∞)cf(n)

    dopo aver raccolto a numeratore un n^2

    √(1+n^4)-n^2 = n^2√(1+(1)/(n^4))-n^2 = n^2[(1+(1)/(n^4))^((1)/(2))-1]

    il tutto è asintoticamente equivalente a 1/(2n^2).

    Fatto ciò ci siamo ricondotti, per equivalenza asintotica, ad una serie il cui termine generale è

    (1)/(2n^2ln(n^2+n))

    che converge per il criterio del confronto con la serie armonica generalizzata

    Σ_(n = 1)^(+∞)(1)/(n^2)

    devi solo maggiorare il termine generale della predetta serie con 1/n^2.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • allora in una serie che ha anche il denominatore posso fare direttamente la maggioritaria e studiarmi solo il numeratore come in questo caso??

    Risposta di frascatano

  • Non è possibile rispondere a questa domanda in termini generali, bisogna valutare caso per caso.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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