Soluzioni
  • Ciao Frascatano, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Essendo la serie

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{\sqrt{n^4+1}}{\ln{(n^2+n)}}}

    è sufficiente osservare che essa non soddisfa la condizione necessaria (ma non sufficiente) di convergenza di Cauchy: il termine generale è infatti una successione il cui limite è

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{\sqrt{n^4+1}}{\ln{(n^2+n)}}}=+\infty

    dove il risultato si desume osservando che

    \sqrt{n^4+1}\sim_{n\to +\infty} \sqrt{n^4}=n^2

    mentre

    \ln{(n^2+n)}\sim_{n\to +\infty}\ln{(n^2)}=2\ln{(n)}

    dopodiché si applica il confronto tra i corrispondenti infiniti.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • scusami ho sbagliato a scrivere il testo nel numeratore ho anche un -n^2,, scusami tanto

    Risposta di frascatano
  • Non cambia nulla Wink

    n^4-n^2+1\sim_{n\to +\infty} n^4

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Scusa il numeratore è

    {tex}\sqrt{n^4-1}- n^2, quando faccio il limite mi viene una forma indeterminata infinito - infinito quindi io uso il trucchetto di moltiplicare numeratore e denominatore per lo stesso con il segno + e avrò

    \frac{1}{2}\ n^2

    Ma poi come vado avanti?

    Risposta di frascatano
  • come faccio a dire che converge?

    Risposta di frascatano
  • In questa terza eventualità, devi ricorrere all'equivalenza asintotica del limite notevole

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{(1+f(n))^{c}-1}{f(n)}}=c\Leftrightarrow (1+f(n))^{c}-1\sim_{n\to+\infty}cf(n)

    dopo aver raccolto a numeratore un n^2

    \sqrt{1+n^4}-n^2=n^2\sqrt{1+\frac{1}{n^4}}-n^2=n^2\left[\left(1+\frac{1}{n^4}\right)^{\frac{1}{2}}-1\right]

    il tutto è asintoticamente equivalente a 1/(2n^2).

    Fatto ciò ci siamo ricondotti, per equivalenza asintotica, ad una serie il cui termine generale è

    \frac{1}{2n^2\ln{(n^2+n)}}

    che converge per il criterio del confronto con la serie armonica generalizzata

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n^2}}

    devi solo maggiorare il termine generale della predetta serie con 1/n^2.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • allora in una serie che ha anche il denominatore posso fare direttamente la maggioritaria e studiarmi solo il numeratore come in questo caso??

    Risposta di frascatano
  • Non è possibile rispondere a questa domanda in termini generali, bisogna valutare caso per caso.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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