Corde congruenti su due parabole

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Ciao, non è una novità ormai, non riesco a fare un problema di Geometria Analitica sulle parabole e sulle corde intercettate sulle parabole...

 

Scrivere l'equazione della parabola y=x^2+x+k, tangente in P alla parabola y=-x^2+3x-2. Verificare che una generica retta P, non parallela all'asse y e non coincidente con la tangente, determina sulle due parabole corde congruenti.

Io ho messo a sistema le equazioni delle parabole, mettendo delta=0 e mi viene y=x^2+x-3/2, però non lo so più fare da quando dice di verificare etc...

 

Grazie :)

Domanda di Mindy

 
Soluzioni

  • La prima parte va bene: :) mettendo a sistema le equazioni della parabola (click per le formule) e del fascio di parabole otteniamo un'equazione di secondo grado

    x^2+x+k = -x^2+3x-2

    2x^2-2x+(k+2) = 0

    Imponendo la condizione di annullamento del discriminante (delta) otteniamo un'equazione di primo grado in k: l'annullamento del delta equivale alla condizione di tangenza, infatti delta nullo significa avere due soluzioni (due ascisse) coincidenti.

    Se non ho sbagliato clamorosamente i conti :)

    4-8(2+k) = 0 → k = -(3)/(2)

    ---

    A questo punto si possono determinare le coordinate del punto P calcolando la soluzione corrispondente all'equazione

    2x^2-2x+(1)/(2) = 0

    e, dette (x_P,y_P) le coordinate del punto di tangenza, possiamo scrivere l'equazione della generica retta passante per il punto P

    y-y_P = m(x-x_P)

    dove, a questo punto, è tutto noto meno il parametro m (coefficiente angolare), che trattiamo appunto come un parametro.

    Mettendo a sistema l'equazione della retta con l'equazione della prima parabola

    y = x^2+x-(3)/(2) ; y = m(x-x_P)+y_P

    trovi due generici punti di intersezione, individuati dalle rispettive ascisse x_1,x_2. Puoi trovare le corrispondenti ordinate sostituendo tali valori (dipendenti dal parametro m) nell'equazione della parabola. (x_1,y_1),(x_2,y_2).

    Puoi procedere allo stesso identico modo con la seconda parabola: (x_3,y_3),(x_4,y_4).

    Puoi infine calcolare le distanze tra le due coppie di punti: se risulta che le distanze si equivalgono, l'esercizio è concluso.

    Namasté! 

    Risposta di Omega
 
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