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    Risposta di Alpha
  • Gli spazi vettoriali non sono linearmente indipendente o linearmente dipendenti, è una proprietà degli insiemi di vettori: si parla a tal proposito di vettori linearmente indipendenti o dipendenti.

    La definizione è questa:

    siano v1,...,vn elementi di uno spazio vettoriale V, essi si dicono linearmente indipendenti se

    \sum_{i=1}^n\lambda_iv_i=\lambda_1v_1+\ldots \lambda_nv_n=0

    è verificata solo quanto tutti i coefficienti λi sono nulli.

    Facciamo un esempio, consideriamo i vettori (1,0) e (0,1) di R2 scriviamo la somma

    \lambda_1 (1,0)+\lambda_2 (0,1)=0

    questo significa che deve verificarsi

    (\lambda_1 \cdot 1,\lambda_1 \cdot 0)+(\lambda_2\cdot 0,\lambda_2 \cdot 1)=0

    cioè

    (\lambda_1 , 0)+( 0,\lambda_2)=0

    che si può scrivere come sistema:

    \left\{\begin{matrix}\lambda_1=0\\\lambda_2=0\end{matrix}

    quindi la relazione è vera se e solo se i due coefficienti sono nulli. Dunque i vettori sono linearmente indipendenti.

    Consideriamo invece (1,0) e (3,0), scriviamo la somma:

    \lambda_1 (1,0)+\lambda_2 (3,0)=0

    come prima moltiplicando otteniamo

    (\lambda_1 , 0)+( \lambda_2\cdot 3,0)=0

    Riscriviamo tutto come sistema:

    \left\{\begin{matrix}\lambda_1+3\lambda_2=0\\0=0\end{matrix}

    La somma è verificata per

    \lambda_1=-3\lambda_2

    Quindi i due coefficienti non devono essere per forza nulli, di conseguenza questi ultimi due vettori non sono linearmente indipendenti.

    Una base per uno spazio vettoriale è un sistema di generatori composto solo da vettori linearmente indipendenti, ad esempio {(1,0),(0,1)} è una base per  R2.

    Alpha.

    Risposta di Alpha
 
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