Soluzioni
  • Ciao Luigi, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • I risultati del tuo svolgimento sono corretti. :) Per derivare

    f(x)=\frac{2x+3}{3-x}e^{-x}

    devi applicare la regola di derivazione del prodotto di funzioni prima, dopodiché devi applicare la regola di derivazione del rapporto di funzioni e il teorema di derivazione della funzione composta. Per i primi due puoi fare riferimento a questo articolo (algebra delle derivate) mentre per il teorema di derivazione della funzione composta puoi fare riferimento a questo articolo

    f'(x)=\frac{2(3-x)+(2x+3)(-1)}{(3-x)^2}e^{-x}+\frac{2x+3}{3-x}e^{-x}(-1)

    svolgendo i conti puoi riscrivere la derivata prima nella forma

    f'(x)=\frac{e^{-x}x(2x-3)}{(x-3)^2}

    e non dovresti avere problemi con lo studio del segno.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • grazie mille ho terminato l'esercizo. Se è possibile potrei avere il grafico di questa funzione per vedere se ho fatto bene? 

    Risposta di Luigi2110
  • E come no?! :)

    Perché limitarsi ad un grafico? Laughing

    Qui puoi costruirti tutti i grafici che vuoi: grafico di una funzione Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ho dato uno sguardo al grafico e mi è sorto un dubbio. Quando pongo la derivata prima >0  per vedere gli intervalli di crescenza procedo così: il numeratore è: e^-x x(2x+3) ed è il prodotto di 3 funzioni; la prima funzione e^-x è sempre maggiore di 0, la seconda funzione è maggiore di 0 per x>0 mentre la terza funzione è maggiore di 0 per x>-3/2. Quindi in definitiva il numeratore è maggiore di 0 quando x>-3/2. Il denominatore invece è sempre maggiore di 0. Facendo il grafico tra numeratore è denominatore ho 2 soli intervalli : il primo è (-00, -3/2) e in questo intervallo la funzione decresce, mentre il secondo intervallo è (-3/2, +00) e in questo intervallo la funzione cresce. Quindi -3/2 è un punto di minimo e sostituendolo alla funzione ottengo le coordinate complete. è giusto il procedimento che ho fatto oppure ho sbagliato qualcosa?

    Risposta di Luigi2110
  • Occhio: c'è un errore qui

    "la seconda funzione è maggiore di 0 per x>0 mentre la terza funzione è maggiore di 0 per x>-3/2. Quindi in definitiva il numeratore è maggiore di 0 quando x>-3/2"

    Dato che ci sono due condizioni di positività

    x>0

    x>-\frac{3}{2}

    laderivata risulta negativa su (-3/2,0) e positiva su (-\infty,-3/2)\cup (0,3)\cup(3+\infty).

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ho capito è stato un errore di distrazione. quindi in definitiva il numeratore è maggiore di 0 per x<-3/2 e x>0. Adesso devo fare il grafico con la soluzione del denominatore. Il denominatore è positivo per x<3. quindi facendo il grafico finale ci sono i seguenti intervalli: il primo è (-00, -3/2) dove la funzione cresce; il secondo è (-3/2, 0) dove la funzione decresce; il terzo è (0,3) dove la funzione cresce; il quarto è  (3,+00) dove la funzione decresce. Si ha quindi il punto di massimo in -3/2 e il punto di minimo 0. Adesso mi basta sostituire per ottenere le cordinate complete?

    Risposta di Luigi2110
  • Il denominatore è positivo su tutto il dominio della funzione, o se preferisci su \mathbb{R}-\{3\}, dunque la derivata prima è complessivamente positiva/negativa sugli intervalli che ho indicato nella precedente risposta.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ho fatto un altro errore di distrazione ( e da stamattina che faccio matematica). Comunque se gli intervalli di crescenza/decrescenza sono questi posso dire che -3/2 è un punto di massimo mentre 0 è un punto di minimo? giusto?

    Risposta di Luigi2110
  • Certamente :)

    Namasté!

    Risposta di Omega
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