Soluzioni
  • La funzione:

    f(x)= \frac{x-1}{x^3}

    ha per dominio dominio:

    \mbox{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}

    Essa è definita mediante un rapporto quindi per derivarla dobbiamo utilizzare la relativa regola di derivazione:

    \\ f'(x)= \frac{D[x-1] x^3-(x-1)D[x^3]}{(x^3)^2}=\\ \\ \\= \frac{x^3-(x-1)\cdot 3x^2}{x^6}=\\ \\ \\= \frac{x^3-3x^3+3x^2}{x^6}=\\ \\ \\=\frac{-2x^3+3x^2}{x^6}=

    effettuiamo un raccoglimento a fattor comune e semplifichiamo

    \\ =\frac{x^2(-2x+3)}{x^6}=\\ \\ \\ = \frac{(-2x+3)}{x^4}

    Ora procediamo con lo studio della derivata prima per individuare i massimi e minimi.

    Determiniamo gli zeri della derivata prima:

    f'(x)=0\iff -2x+3=0\iff x= \frac{3}{2}

    Questo è un possibile punto di minimo o punto di massimo, per determinarne la natura studiamo il segno della derivata prima:

    f'(x)>0

    Osserviamo che il denominatore è sempre positivo perché è una potenza con esponente pari e si annulla in un punto che però è escluso dal dominio. Il segno dipenderà solo dal numeratore:

    -2x+3>0\iff -2x>-3\iff x<\frac{3}{2}

    Quindi la derivata prima è:

    - positiva per x\in \left(-\infty, 0\right)\cup\left(0, \frac{3}{2}\right);

    - negativa per  x\in \left(\frac{3}{2}, +\infty\right).

    Di conseguenza la funzione:

    - cresce per x\in \left(-\infty, 0\right)\mbox{ e per }x\in\left(0,\frac{3}{2}\right)

    - decresce per  x\in \left(\frac{3}{2}, +\infty\right)

    Quindi

    x= \frac{3}{2}

    è un punto di massimo relativo e il corrispondente (valore) massimo è:

    f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{4}{27}

    Calcoliamo la derivata seconda:

    \\ f''(x)= \frac{D[-2x+3]x^4-(-2x+3)D[x^4]}{(x^4)^2}=\\ \\ \\= \frac{-2x^4-(-2x+3)4x^3}{x^8}=\\ \\ \\= \frac{x^3(-2x+8x-12)}{x^8}=\\ \\ \\= \frac{6x-12}{x^5}

    Determiniamo gli zeri della derivata seconda:

    f''(x)=0\iff 6x-12=0\iff x=2

    È un potenziale punto di flesso, studiamo il segno della derivata seconda:

    \\ f''(x)>0\\ \\ \\ \frac{6x-12}{x^5}>0

    Studiamo separatamente il segno del numeratore e del denominatore:

    \\ N:6x-12>0\iff x>2\\ \\D:x^5>0\iff x>0

    Tabuliamo i segni e traiamo le dovute conclusioni. Scopriamo che la derivata seconda è positiva in:

    x < 0\vee x > 2

    mentre è negativa quando:

    0 < x < 2

    possiamo concludere quindi che la funzione è:

    - convessa se x<0\vee x>2;

    - concava se 0<x<2.

    e x=2 è un punto di flesso.

    Risposta di Ifrit
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