Soluzioni
  • Per calcolare l'integrale indefinito

    \int\frac{2+\tan^2(x)}{(1+x+\tan(x))^3}\, dx

    occorre rifarsi alla formula di integrazione del prodotto di una potenza per la derivata della base

    \int [f(x)]^{\alpha}\cdot f'(x)\, dx=\frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c\ \ \ \mbox{per} \ \alpha\ne -1

    Chiaramente dobbiamo dimostrare che l'integrale dato si presenta esattamente nella forma richiesta.

    Per prima cosa sfruttiamo la definizione di potenza con esponente negativo per riscrivere l'integrale

    \int\frac{2+\tan^2(x)}{(1+x+\tan(x))^3}\, dx=

    nella forma equivalente

    =\int(2+\tan^2(x))(1+x+\tan(x))^{-3}\,dx

    dopodiché calcoliamo la derivata della base, ossia di 1+x+\tan(x) per verificare che coincide con 2+\tan^2(x). A questo proposito partiamo da

    \frac{d}{dx}[1+x+\tan(x)]=

    e usiamo la linearità per esprimere la derivata della somma nella somma delle derivate dei singoli addendi

    =\frac{d}{dx}[1]+\frac{d}{dx}[x]+\frac{d}{dx}[\tan(x)]=

    Ci siamo ricondotti a tre derivate elementari: quella meno nota è la derivata della tangente, che coincide con il reciproco del coseno al quadrato.

    =1+\frac{1}{\cos^2(x)}=

    Attenzione! Grazie alla relazione fondamentale della goniometria, possiamo esprimere 1 come la somma tra i quadrati di seno e coseno

    =1+\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=

    e, una volta distribuito il denominatore a ciascun addendo del numeratore, ricaviamo

    \\ =1+\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\\ \\ \\ =1+1+\tan^2(x)=2+\tan^2(x)

    Le precedenti considerazioni ci permettono di affermare che

    \frac{d}{dx}[1+x+\tan(x)]=2+\tan^2(x)

    di conseguenza

    \int(2+\tan^2(x))(1+x+\tan(x))^{-3}\,dx=

    è l'integrale del prodotto tra la potenza (1+x+\tan(x))^{-3} e la derivata della base per cui, in accordo con la regola omonima, otteniamo:

    \\ =\frac{[1+x+\tan(x)]^{-3+1}}{-3+1}+c=\\ \\ \\ =\frac{(1+x+\tan(x))^{-2}}{-2}+c=\\ \\ \\ =-\frac{1}{2 (1+x+\tan(x))^2}+c

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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