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  • Caio Xavier, ti rispondo subito!

    Risposta di Alpha
  • Partiamo dalle definizioni rigorose per poi cercare di capirle, ma devo cambiare l'ordine delle tue domande, risponderò esattamente al contrario:

     

    cosa si intende per combinazione lineare?


    Partiamo dal caso più semplice: diciamo che un vettore v è combinazione lineare di u1 e u2 se esistono due coefficienti λ1 e λ2 tali che


    v=\lambda_1u_1+\lambda_2u_u


    è possibile rendere più compatta questa scrittura in questo modo:


    v=\sum_{i=1}^2\lambda_i v_i


    A questo punto possiamo estendere la definizione di combinazioni lineari a n vettori con n coefficienti. Siano {u1,...,un} vettori, e {λ1,...,λn} coefficienti. Diciamo che v è combinazione lineare dei vettori ui a coefficienti λi se vale


    v=\sum_{i=1}^n\lambda_i v_i


     

    Cosa vuol dire che un sottospazio è chiuso rispetto al prodotto?


    In generale uno spazio V è chiuso rispetto ad un operazione, indichiamola con *, se per ogni coppia di elementi u,v di V, si ha che


    u*v\in V


    Ad esempio l'insieme dei numeri interi è chiuso rispetto alla somma, infatti sommando due numeri interi otteniamo sempre un numero intero, ma non è chiuso rispetto alla divisione, infatti possiamo considerare


    {tex}1,3\in\mathbb{Z}{\tex}


    e dividendoli otteniamo


    \frac{1}{3}


     che non è un numero intero, quindi i numeri interi non sono chiusi rispetto all'operazione di divisione.




    Cos'è uno spazio vettoriale e un sottospazio vettoriale?


    Uno spazio vettoriale è un insieme V dotato di una operazione binaria, indichiamola con +,

    + : V\time V\to V

    commutativa; e un'operazione detta prodotto esterno definita su KxV a valori in V.

     

    In particolare devono valere le segueti proprietà:

     

    1. Il prodotto esterno deve essere associativo
    2. Se 1K è l'unita del campo allora il prodotto esterno deve essere tale che 1K·v=v, dove v appartiene a V.
    3. Il prodotto esterno deve essere distributivo rispetto all'addizione di elementi nel campo (elementi di K).
    4. Il prodotto esterno deve essere distributivo rispetto alla somma di vettori (elementi di V)

    In sostanza lo spazio vettoriale è un insieme dotato di due operazioni, una binaria definita su se stesso (somma da VxV in V), e l'altra definita grazie al campo K (prodotto esterno o prodotto per scalare da KxV in V). Chiaramente lo spazio vettoriale è chiuso rispetto a queste operazioni, ma questo perché altrimenti lavorarci sarebbe difficile, la chiusura rispetto alle operazioni ti garantisce che facendo la somma di elementi dello spazio vettoriale, o moltiplicandoli per scalari non otterrai mai come risultato qualcosa al di fuori dello spazio da cui sei partito!

     

    Dato uno spazio vettoriale V su un campo K, W si dice sottospazio vettoriale di V se W è un sottoinsieme non banale di V ed è a sua volta spazio vettoriale sul campo K.

     

    Alpha.

    Risposta di Alpha
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