Dimostrare che H e K sono sottospazi di R^4

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Potreste aiutarmi con un esercizio sulla verifica di un sottospazio vettoriale? Dato un sottoinsieme di R^4 definito per caratteristica devo dimostrare che è un suo sottospazio.

 

Provare che l'insieme

 

H = (0,0,z,t) | z,t ∈ R

 

è un sottospazio vettoriale di R^4

Domanda di revictor

 
Soluzioni

  • Per dimostrare che un insieme è un sottospazio vettoriale bisogna provare che l'insieme è chiuso rispetto alla somma e rispetto al prodotto di un vettore per uno scalare.

    H = (0,0,z,t) | z,t ∈ R

    è un sottoinsieme di R^4 i cui elementi sono le 4-uple ordinate di numeri reali tali da avere le prime due componenti nulle.

    Per dimostrare che H è un sottospazio vettoriale di R^4 dobbiamo verificare che:

    - per ogni h_1, h_2 ∈ H la loro somma appartiene ad H;

    - per ogni λ ∈ R e per ogni h ∈ H il loro prodotto appartiene ad H.

    Procediamo!

    Siano:

    h_1 = (0,0,z_1,t_1) ; h_2 = (0,0,z_2,t_2)

    due elementi di H. Calcoliamone la somma:

    h_1+h_2 = (0,0,z_1,t_1)+(0,0,z_2,t_2) = (0, 0, z_1+z_2, t_1+t_2)

    Il vettore somma è un elemento di R^4 con le prime due componenti nulle, per cui appartiene ad H.

    La prima proprietà è verificata, e possiamo passare alla seconda.

    Fissiamo λ ∈ R e sia h = (0,0,z,t) ∈ H.

    Allora:

    λ h = λ (0,0,z,t) = (0,0,λ z , λ t)

    Chiaramente anche il vettore prodotto appartiene ad H, infatti è un elemento di R^4 con le prime due componenti uguali a zero.

    Possiamo così concludere che H è un sottospazio vettoriale di R^4, e non serve fare altro.

    Risposta di Galois
 
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