Dimostrare che H e K sono sottospazi di R4

Ciao a tutti,mi aiutate con questo esercizio? Devo provare che due insiemi di R4 sono sottospazi vettoriali...

In R4 siano assegnati i seguenti sottoinsiemi:

 

H = { (0,0,z,t) | z,t appartengono a R }

K = { (0,y,0,t) | y,t appartengono a R }

 

- Dimostrare ke K e H sono sottospazi di R4;

Determinare una base per H, ed una base per K

 

In pratica è giusto fare così?

Riscrivo H come z(0,0,1,0) + t(0,0,0,1). Quindi i due vettori sono linearmente indipendenti e costituiscono una base per H. Inoltre si evince che H ha dimensione 2 quindi è necessariamente sottospazio di R4.

 

Analogo discorso per K. E' giusto?

Grazie in anticipo! :)

In Uni - Algebra Lineare - Domanda di revictor

 
Soluzioni

  • Ciao revictor arrivo, dammi solo qualche secondo :P

    Risposta di Ifrit

  • No, purtroppo non va bene. Devi prima dimostrare che gli insiemi considerati sono sottospazi vettoriali (click per il metodo di verifica nei vari casi possibili).

    Cominciamo con H:

    H=\left\{(0,0, z, t)\in \mathbb{R}^4: z, t\in \mathbb{R}\right\}

    Dobbiamo dimostrare che

    1) Chiusura rispetto alla somma

    Presi h_1, h_2\in H

    allora:

    h_1+h_2\in H

    Dimostriamolo:

    h_1= (0,0, z_1, t_1)\quad z_1, t_1\in\mathbb{R}

    h_2= (0, 0, z_2, t_2)\quad z_2, t_2\in \mathbb{R}

    La somma è:

    h_1+h_2=(0,0, z_1+z_2, t_1+t_2)

    poniamo:

    z_1+z_2=z

    t_1+t_2= t

    Il vettore somma diventa:

    h_1+h_2= (0,0, z, t)\quad z, t\in \mathbb{R}

    La somma quindi appartiene all'insieme H

    2) Chiusura rispetto al prodotto per uno scalare

    Dobbiamo mostrare che comunque presi 

    \lambda\in \mathbb{R}

    e

    h_1\in H

    si ha che:

    \lambda h_1\in H

    Dimostriamolo! Sia

    h_1=(0,0,z_1, t_1)

    allora:

    \lambda h_1=(0, 0, \lambda z_1, \lambda t_1)

    poniamo:

    z=\lambda z_1

    t=\lambda t_1

    Di conseguenza:

    \lambda h_1= (0, 0, z, t)

    Abbiamo dimostrato che appartiene all'insieme H.

    Possiamo concludere che l'insieme H è un sottospazio vettoriale.

     

    Determiniamo una base. Qui avevi iniziato bene, ma hai tratto conclusioni inesatte.

    (0, 0, z,t)= z(0,0,1, 0)+t(0,0, 0, 1)

    Poiché i vettori 

    (0, 0, 1, 0) \mbox{ e } (0, 0, 0, 1)

    sono linearmente indipendenti allora costituiscono una base di H che ha quindi dimensione 2.

     

    Procedi allo stesso modo per l'altro insieme :)

    Risposta di Ifrit
 
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