Per dimostrare che un insieme è un sottospazio vettoriale bisogna provare che l'insieme è chiuso rispetto alla somma e rispetto al prodotto di un vettore per uno scalare.
è un sottoinsieme di
i cui elementi sono le 4-uple ordinate di numeri reali tali da avere le prime due componenti nulle.
Per dimostrare che
è un sottospazio vettoriale di
dobbiamo verificare che:
- per ogni
la loro somma appartiene ad
;
- per ogni
e per ogni
il loro prodotto appartiene ad
.
Procediamo!
Siano:
due elementi di
. Calcoliamone la somma:
Il vettore somma è un elemento di
con le prime due componenti nulle, per cui appartiene ad
.
La prima proprietà è verificata, e possiamo passare alla seconda.
Fissiamo
e sia
.
Allora:
Chiaramente anche il vettore prodotto appartiene ad
, infatti è un elemento di
con le prime due componenti uguali a zero.
Possiamo così concludere che
è un sottospazio vettoriale di
, e non serve fare altro.
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