Dimostrare che H e K sono sottospazi di R^4

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Potreste aiutarmi con un esercizio sulla verifica di un sottospazio vettoriale? Dato un sottoinsieme di \mathbb{R}^4 definito per caratteristica devo dimostrare che è un suo sottospazio.

 

Provare che l'insieme

 

H=\{(0,0,z,t) \ | \ z,t \in \mathbb{R}\}

 

è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4

Domanda di revictor

 
Soluzioni

  • Per dimostrare che un insieme è un sottospazio vettoriale bisogna provare che l'insieme è chiuso rispetto alla somma e rispetto al prodotto di un vettore per uno scalare.

    H=\{(0,0,z,t) \ | \ z,t \in \mathbb{R}\}

    è un sottoinsieme di \mathbb{R}^4 i cui elementi sono le 4-uple ordinate di numeri reali tali da avere le prime due componenti nulle.

    Per dimostrare che H è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4 dobbiamo verificare che:

    - per ogni \mathbf{h}_1, \mathbf{h}_2 \in H la loro somma appartiene ad H;

    - per ogni \lambda \in \mathbb{R} e per ogni \mathbf{h} \in H il loro prodotto appartiene ad H.

    Procediamo!

    Siano:

    \mathbf{h}_1=(0,0,z_1,t_1) \ \ \ ; \ \ \ \mathbf{h}_2=(0,0,z_2,t_2)

    due elementi di H. Calcoliamone la somma:

    \\ \mathbf{h}_1+\mathbf{h}_2 = (0,0,z_1,t_1)+(0,0,z_2,t_2) = \\ \\ = (0, \ 0, \ z_1+z_2, \ t_1+t_2)

    Il vettore somma è un elemento di \mathbb{R}^4 con le prime due componenti nulle, per cui appartiene ad H.

    La prima proprietà è verificata, e possiamo passare alla seconda.

    Fissiamo \lambda \in \mathbb{R} e sia \mathbf{h}=(0,0,z,t) \in H.

    Allora:

    \lambda \mathbf{h} = \lambda (0,0,z,t) = (0,0,\lambda z , \lambda t)

    Chiaramente anche il vettore prodotto appartiene ad H, infatti è un elemento di \mathbb{R}^4 con le prime due componenti uguali a zero.

    Possiamo così concludere che H è un sottospazio vettoriale di \mathbb{R}^4, e non serve fare altro.

    Risposta di Galois
 
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