Soluzioni
  • Iniziamo, abbiamo a che fare con una disequazione irrazionale!

    Per prima cosa svolgiamo alcuni conti per semplificare l'espressione:

    \sqrt{x(x+1)(x-2)-(x-2)^3}<x+1

    \sqrt{(x^2+x)(x-2)-(x^3-6x^2+12x-8)}<x+1

    \sqrt{x^3-x^2-2x-x^3+6x^2-12x+8}<x+1

    Sommiamo i monomi simili:

    \sqrt{5x^2-14x+8}<x+1

    Siamo di fronte ad una disequazione del tipo:

    \sqrt{f(x)}<g(x)

    che è equivalente al seguente sistema di disequazioni:

    \begin{cases}f(x)\ge 0\\ g(x)\ge 0\\ f(x)<g^2(x)\end{cases}

    nel nostro caso abbiamo:

    f(x)= 5x^2-14x+8

    e

    g(x)=x+1

    quindi il sistema diventa:

    \begin{cases}5x^2-14x+8\ge 0\\ x+1\ge 0\\ 5x^2-14x+8<(x+1)^2\end{cases}

    Risolviamo singolarmente le disequazioni:

    5x^2-14x+8\ge 0

    È una disequazione di secondo grado che è soddisfatta quando 

    x\le \frac{4}{5}\vee x\ge 2

    La seconda disequazione è immediata:

    x+1\ge 0\iff x\ge -1

    Abbiamo infine l'ultima disequazione:

    5x^2-14x+8<(x+1)^2

    Facciamo un po' di conti:

    5x^2-14x+8<x^2+2x+1

    Portiamo al primo membro:

    4x^2-16x+7<0

    Risolvi questa disequazione in modo canonico, otterrai:

    \frac{1}{2}<x<\frac{7}{2}

    A questo punto dovrai intersecare i risultati  e per farlo dobbiamo utilizzare la rappresentazione grafica.

    In particolare utilizza una linea continua quando sei nell'insieme soluzione. Ad esempio, il primo:

    x\le \frac{4}{5}\vee x\ge 2 

    verrà rappresentato in questo modo: linea continua prima del valore 4/5, con 4/5 compreso, poi spazio vuoto fino a 2, da due in poi disegna una linea continua:

    _____________4/5..............................2___________________

     

    Fai questo ragionamento per tutti gli insiemi soluzione trovati :)

     

    __-1______(1/2)_______4/5.................................2___(7/2)____________

    ....-1______(1/2)_______4/5___________________2____(7/2)___________

    ....-1..........(1/2)_______4/5___________________2____(7/2)...................

     

    Prendi le parti in comune, cioè:

    \frac{1}{2}<x\le \frac{4}{5}\vee 2\le x<\frac{7}{2}

    Risposta di Ifrit
  • Ho capito tutto il procedimento fino alle soluzioni. Dalla rappresentazione grafica mi sorgono i problemi e le domande.

     

    1. Nella rappresentazione grafica, le soluzioni della terza disequazione del sistema (in questo caso 1/2 e 7/2) vanno sempre messe in tutti e tre i punti di tutte le disequazioni irrazionali? E il 2 in tutti e 3 i punti cosa sarebbe?

     

    2. Quando hai scritto la soluzione finale, come faccio a capire che lì devo mettere il < o <= ?

     

    Grazie della disponibilità Ifrit.

    Risposta di Lucabig
  • Per farti un esempio:

    x\le \frac{4}{5}\vee x\ge 2

    in questo caso devi rappresentare l'insieme in questo modo:

    _________•...................•______________

    In prossimità dei punti 4/5 e 2 dovrai mettere i pallini pieni, i quali ti avvertono che questi punti fanno parte della soluzione.

    L'insieme x\ge -1 ha la seguente rappresentazione:

    ......•__________________________________

    Hai quindi un pallino pieno in prossimità di -1 perché -1 è soluzione della relativa disequazione.

    Consideriamo ora l'insieme:

    \frac{1}{2}<x<\frac{7}{2}

    In questo caso per rappresentare l'insieme procedi così:

    ..............o__________________o...................

    In prossimità dei valori 1/2 e 7/2 avrai i pallini vuoti, i quali ti dicono che tali valori non devi prenderli in considerazione.

    Seguendo questa procedura  avrai:

     

    1. _______________•.................................•_______________

    2. ...•________________________________________________

    3 ...............o_________________________________o...................

     

    Il risultato sarà:

     

    .............o________•........................•______o....................

     

    che "tradotto" in insiemi sarà:

    \frac{1}{2}<x\le \frac{4}{5}\vee 2\le x<\frac{7}{2}

     

    Il problema ora è che per me è impossibile scrivere i numeri sopra i pallini pieni, ho scritto  quindi  un grafico "muto". Su carta sarebbe molto più facile spiegarti il procedimento :(

     

    Risposta di Ifrit
  • Tranquillo Ifrit, sei stato chiarissimo. Domani ci aggiorniamo e vediamo un pò sulle trasformazioni geometriche. Grazie ancora. ;)

    Risposta di Lucabig
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