Risoluzione di una disequazione irrazionale

Buonasera Staff, dopo più di un mese di assenteismo totale dal D&R di YM speravo di non tornarci più ed invece sono qui, letteralmente arrabbiato nei confronti del mio prof di matematica che si è messo a spiegare avant'ieri un'intera lezione riguardo le disequazioni e inoltre ci ha assegnato il compito per Martedì questo, pazzesco no?

E non è finita qui, ha detto che nel compito metterà anche le trasformazioni geometriche che spiegherà lunedì in un'ora. Vabè, mi fermo qui, scusate ma volevo sfogarmi. Veniamo a noi. Ora mi sto esercitando sulle disequazioni irrazionali di cui non ci capisco molto, soprattutto sullo studio del segno. L'esercizio in questione è il seguente:

Vorrei capire in particolare lo studio del segno in quanto non ho capito dove e come mettere le linee nella rappresentazione grafica, Grazie.

P.S. Lo screen riguardante la struttura di una domanda è davvero utile per tutti gli utenti, bella idea! =)

Domanda di Lucabig

Soluzioni

Iniziamo, abbiamo a che fare con una disequazione irrazionale!
Per prima cosa svolgiamo alcuni conti per semplificare l'espressione:
Sommiamo i monomi simili:
Siamo di fronte ad una disequazione del tipo:
che è equivalente al seguente sistema di disequazioni:
nel nostro caso abbiamo:
e
quindi il sistema diventa:
Risolviamo singolarmente le disequazioni:
È una disequazione di secondo grado che è soddisfatta quando
La seconda disequazione è immediata:
Abbiamo infine l'ultima disequazione:
Facciamo un po' di conti:
Portiamo al primo membro:
Risolvi questa disequazione in modo canonico, otterrai:
A questo punto dovrai intersecare i risultati e per farlo dobbiamo utilizzare la rappresentazione grafica.
In particolare utilizza una linea continua quando sei nell'insieme soluzione. Ad esempio, il primo:

verrà rappresentato in questo modo: linea continua prima del valore 4/5, con 4/5 compreso, poi spazio vuoto fino a 2, da due in poi disegna una linea continua:
_____________4/5..............................2___________________

Fai questo ragionamento per tutti gli insiemi soluzione trovati :)

__-1______(1/2)_______4/5.................................2___(7/2)____________
....-1______(1/2)_______4/5___________________2____(7/2)___________
....-1..........(1/2)_______4/5___________________2____(7/2)...................

Prendi le parti in comune, cioè:
Risposta di Ifrit
Ho capito tutto il procedimento fino alle soluzioni. Dalla rappresentazione grafica mi sorgono i problemi e le domande.

1. Nella rappresentazione grafica, le soluzioni della terza disequazione del sistema (in questo caso 1/2 e 7/2) vanno sempre messe in tutti e tre i punti di tutte le disequazioni irrazionali? E il 2 in tutti e 3 i punti cosa sarebbe?

2. Quando hai scritto la soluzione finale, come faccio a capire che lì devo mettere il < o <= ?

Grazie della disponibilità Ifrit.
Risposta di Lucabig
Per farti un esempio:
in questo caso devi rappresentare l'insieme in questo modo:
_________•...................•______________
In prossimità dei punti 4/5 e 2 dovrai mettere i pallini pieni, i quali ti avvertono che questi punti fanno parte della soluzione.
L'insieme ha la seguente rappresentazione:
......•__________________________________
Hai quindi un pallino pieno in prossimità di -1 perché -1 è soluzione della relativa disequazione.
Consideriamo ora l'insieme:
In questo caso per rappresentare l'insieme procedi così:
..............o__________________o...................
In prossimità dei valori 1/2 e 7/2 avrai i pallini vuoti, i quali ti dicono che tali valori non devi prenderli in considerazione.
Seguendo questa procedura avrai:

1. _______________•.................................•_______________
2. ...•________________________________________________
3 ...............o_________________________________o...................

Il risultato sarà:

.............o________•........................•______o....................

che "tradotto" in insiemi sarà:

Il problema ora è che per me è impossibile scrivere i numeri sopra i pallini pieni, ho scritto quindi un grafico "muto". Su carta sarebbe molto più facile spiegarti il procedimento :(

Risposta di Ifrit
Tranquillo Ifrit, sei stato chiarissimo. Domani ci aggiorniamo e vediamo un pò sulle trasformazioni geometriche. Grazie ancora. ;)
Risposta di Lucabig