Soluzioni
  • Prima di svolgere qualsiasi passaggio algebrico sull'equazione logaritmica

    \frac{\log(10-x)}{\log(4-x)}=2

    è necessario imporre le condizioni di esistenza. Dobbiamo richiedere che gli argomenti dei logaritmi contenenti l'incognita siano maggiori di zero, inoltre il denominatore al primo membro dovrà essere necessariamente diverso da zero. Tali vincoli devono valere contemporaneamente, ecco perché costituiamo il sistema di disequazioni

    \begin{cases}10-x>0\\ \\ 4-x>0\\ \\ \log(4-x)\ne 0\end{cases}

    Risolviamo singolarmente le disequazioni

    \\ 10-x>0 \ \ \ \to \ \ \ x<10 \\ \\ 4-x>0 \ \ \to \ \ \ x<4 \\ \\ \log(4-x)\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ 4-x\ne 1 \ \ \ \to \ \ \ x\ne 3

    L'insieme di esistenza delle soluzioni è pertanto

    C.E.:\ x<4\ \ \ , \ \ \ x\ne 3

    Adesso possiamo ritornare all'equazione e svolgere i passaggi algebrici. Per prima cosa trasportiamo 2 al primo membro

    \frac{\log(10-x)}{\log(4-x)}-2=0

    dopodiché calcoliamo il denominatore comune

    \frac{\log(10-x)-2\log(4-x)}{\log(4-x)}=0

    Sotto le condizioni di esistenza, possiamo tranquillamente trascurare il denominatore e considerare l'equazione

    \log(10-x)-2\log(4-x)=0

    Per far sì che l'equazione si presenti in forma normale, utilizziamo la proprietà dei logaritmi

    a\log(b)=\log(b^a) \ \ \ \mbox{con}\  b>0

    con la quale otteniamo

    \log(10-x)-\log[(4-x)^2]=0

    Isolando \log(10-x) a sinistra dell'uguale, l'equazione diventa

    \log(10-x)=\log[(4-x)^2]

    A questo punto è sufficiente ricordare che due logaritmi aventi la stessa base coincidono se e solo se sono uguali i loro argomenti, ecco perché scriviamo

    10-x=(4-x)^2

    la quale non è altro che un'equazione di secondo grado. Sviluppiamo il quadrato di binomio

    10-x=16-8x+x^2

    e trasportiamo tutti i termini al primo membro

    -x^2+7x-6=0 \ \ \ \to \ \ \ x^2-7x+6=0

    Per ricavare le soluzioni, poniamo

    a=1 \ \ \ , \ \ \ b=-7 \ \ \ , \ \ \ c=6

    e utilizziamo la cosiddetta formula del delta

    \\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{(-7)^2-4\cdot 1 \cdot 6}}{2}= \\ \\ \\ = \frac{7\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{7\pm 5}{2}=\begin{cases}\frac{7-5}{2}=1=x_1\\ \\ \frac{7+5}{2}=6=x_2\end{cases}

    L'equazione di secondo grado è quindi soddisfatta per

    x_1=1 \ \ \ , \ \ \ x_2=6

    Esse si candidano anche come soluzioni dell'equazione di partenza, però solo quella che rispetta le condizioni di esistenza è accettabile, l'altra è da scartare. Più esplicitamente

    \frac{\log(10-x)}{\log(4-x)}=2

    è soddisfatta per x=1, mentre x=6 non è soluzione perché viola la condizione x<4.

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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