Soluzioni
  • Bene, prima di cominciare ti consiglio di dare uno sguardo alla lezione sulla razionalizzazione.

    Ciò premesso vediamo come procedere

    \frac{1+\sqrt{10}}{\sqrt{11+2\sqrt{10}}}

    Cominciamo lavorando con il denominatore:

    \sqrt{11+2\sqrt{10}}= \sqrt{11+\sqrt{4\cdot 10}}= \sqrt{11+\sqrt{40}}

    Devi in questo caso ricordare la formula:

    \sqrt{a+\sqrt{b}}= \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}

    nel nostro caso si ha che:

    \sqrt{11+\sqrt{40}}= \sqrt{\frac{11+\sqrt{121-40}}{2}}+\sqrt{\frac{11-\sqrt{121-40}}{2}}=

    \sqrt{\frac{11+\sqrt{81}}{2}}+\sqrt{\frac{11-\sqrt{81}}{2}}=

    \sqrt{\frac{11+9}{2}}+\sqrt{\frac{11-9}{2}}= \sqrt{\frac{20}{2}}+1=\sqrt{10}+1

    Di conseguenza:

    \frac{1+\sqrt{10}}{\sqrt{11+2\sqrt{10}}}= \frac{1+\sqrt{10}}{1+\sqrt{10}}=1

     

    Ora passiamo alla seconda

    \frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}-1}}

    In questo caso procediamo in un altro modo, moltiplichiamo e dividiamo per 

    \sqrt{\sqrt{2}+1}

    Otteniamo quindi:

    \frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{\sqrt{2}-1}\sqrt{\sqrt{2}+1}}=

    = \frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{\sqrt{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}}

    Ora:

    \sqrt{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}= \sqrt{2-1}= \sqrt{1}=1

    Il denominatore è quindi 1. Abbiamo quindi che:

    \frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}-1}}= \sqrt{\sqrt{2}+1}

     

    Ti torna?

    Risposta di Ifrit
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