Lunghezza di una curva regolare a tratti

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Buongiorno, qual è il metodo per calcolare la lunghezza di una curva parametrica regolare a tratti?

Riporto un esercizio giusto come esempio: dopo aver verificato che la curva r(t)=(t^3, t^2) per t [-3,3] è regolare a tratti, per calcolarne la lunghezza cosa devo fare?

 

Devo calcolare un unico integrale della norma delle derivate su [-3,3] oppure devo spezzarla in più integrali?

Domanda di Cimino

 
Soluzioni

  • Ciao Cimino, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Nel caso considerato la curva ha come supporto il grafico della funzione y = x^((2)/(3)) limitato all'intervallo [-27,+27].

    Il problema è che la curva data in forma parametrica non è regolare su [-3,3], in quanto nel punto t = 0 il vettore delle derivate delle singole componenti è nullo.

    La funzione è però regolare a tratti (basta scrivere l'intervallo [-3,+3] come unione di due intervalli di modo da escludere il punto t = 0).

    Nel caso specifico, puoi calcolare la lunghezza della curva osservando che, rappresentando il supporto nel piano cartesiano, è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate, per cui sarà sufficiente calcolarne la lunghezza sull'intervallo [0,-3] e prendere successivamente il doppio di tale lunghezza.

    Morale: non puoi calcolare la lunghezza sull'intervallo [-3,+3] con un unico integrale calcolato su [-3,+3].

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • cos' è il supporto della curva?

    Risposta di Cimino

  • L'insieme dei punti che costituiscono la curva, o se preferisci la curva "geometrica".

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • lo si può calcolare per ogni curva parametrica? come si calcola?

    Risposta di Cimino

  • [Perdonami per il ritardo della risposta, c'è stato un down del server :| ]

    Non è niente di esoterico: per dirla in altri termini, il supporto è l'immagine (insieme immagine) della curva. Se vuoi determinarlo, devi semplicemente dare un volto all'insieme delle immagini della curva.

    Quando si dice "curva", si intende un'applicazione γ:I ⊆ R → R^(n) definita su un intervallo reale a valori in R^(n): il supporto è Im(γ).

    Se la tua domanda si riferisce alla rappresentazione del supporto della curva (i.e. disegnare la curva, con abuso di linguaggio), non è sempre possibile e quando è possibile non è sempre facile. Molto dipende dalla specifica curva considerata.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • rimembranze di geometria... grazie, ma intendevo proprio sapere qual' è la "ricetta" per calcolare la curva supporto dalla curva vettoriale

    Risposta di Cimino

  • ...come detto in precedenza, non è sempre possibile e non è sempre facile, perché tutto dipende dalla specifica curva considerata. Laughing

    Se però ti riferisci al caso che stiamo considerando, è sufficiente dedurre l'equazione che descrive implicitamente la curva, lefferla come funzione reale di variabile reale e tracciarne il grafico:

    x = t^3 → t = [3]√(x)

    y = t^2 → y = x^((2)/(3))

    Se t∈ [-3,+3] ne consegue che x∈ [-27,+27].

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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