Soluzioni
  • Partiamo dal presupposto che il significato geometrico di integrale di Riemann è quello di area sottesa dal grafico della funzione integranda sull'intervallo di integrazione considerato.

    La regione di piano di cui vogliamo calcolare l'area è sottesa dal ramo di parabola riferito all'intervallo di ascisse [-1, 0], che si estende fino al segmento orizzontale situato all'ordinata y=-3.

    L'area calcolata con un integrale di Riemann si riferisce all'area della parte di piano racchiusa tra il grafico della funzione, l'asse delle ascisse (y=0), quindi nel caso considerato dobbiamo calcolare l'area richiesta come somma di due aree.

    Un'area è data dall'integrale della funzione nell'intervallo [-1, 0], che per semplicità di esposizione chiamiamo A_1

    \mbox{Area}_1= \int_{-1}^{0}(3x^2+2x+1)dx=

    facilmente risolvibile se si applica la linearità dell'integrale e se si tiene a mente la regola per l'integrale di una potenza:

    \\ =\left[3\cdot\frac{x^3}{3}+2\cdot\frac{x^2}{2}+x\right]_{-1}^{0}= \\ \\ \\ =\left[x^3+x^2+x\right]_{-1}^{0}= 0-(-1+1-1)=1

    L'altra, che denotiamo con A_2, è l'area del rettangolo compreso tra le due rette orizzontali di equazione y=0\mbox{ e }y=-3 e le due rette verticali x=-1, \ x=0 data da:

    A_2= |3\cdot 1|=3

    dove con |x| indica la funzione valore assoluto.

    Per comprendere perché il calcolo fornisce effettivamente l'area del rettangolo è opportuno rappresentare il tutto graficamente.

    L'area della regione di piano che ci interessa è conseguentemente

    \mbox{Area}=A_1+A_2= 1+3=4

    L'esercizio è completo, ma prima di salutarci consiglio di leggere la lezione dedicata all'argomento: aree con gli integrali.

    Risposta di Ifrit
 
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