Calcolo area delimitata da rette e parabola

Partiamo dal presupposto che il significato geometrico di integrale di Riemann è quello di area sottesa dal grafico della funzione integranda sull'intervallo di integrazione considerato.

La regione di piano di cui vogliamo calcolare l'area è sottesa dal ramo di parabola riferito all'intervallo di ascisse , che si estende fino al segmento orizzontale situato all'ordinata .

L'area calcolata con un integrale di Riemann si riferisce all'area della parte di piano racchiusa tra il grafico della funzione, l'asse delle ascisse , quindi nel caso considerato dobbiamo calcolare l'area richiesta come somma di due aree.

Un'area è data dall'integrale della funzione nell'intervallo , che per semplicità di esposizione chiamiamo

facilmente risolvibile se si applica la linearità dell'integrale e se si tiene a mente la regola per l'integrale di una potenza:

L'altra, che denotiamo con , è l'area del rettangolo compreso tra le due rette orizzontali di equazione e le due rette verticali data da:

dove con indica la funzione valore assoluto.

Per comprendere perché il calcolo fornisce effettivamente l'area del rettangolo è opportuno rappresentare il tutto graficamente.

L'area della regione di piano che ci interessa è conseguentemente

L'esercizio è completo, ma prima di salutarci consiglio di leggere la lezione dedicata all'argomento: aree con gli integrali.