Soluzioni
  • Ok iniziamo.

    Abbiamo l'equazione della parabola:

    y= - x^2+4 x

    I cui punti di intersezione con l'asse X sono dati dalla risoluzione del sistema:

    \begin{cases}y= -x^2+4x\\ y=0\end{cases}

    Da cui otteniamo l'equazione di secondo grado

    -x^2+4x=0\iff x=0\vee x= 4

    I punti quindi sono:

    O(0, 0)

    A(4, 0)

    A questo punto calcoliamo la retta tangente alla parabola passante per il punto A e per farlo costruiamo il fascio di rette passanti per A:

    y= m(x-4)

    (ricorda che la formula generica è

    y-y_0= m(x-x_0)

    dove x0 e y0 sono le coordinate del punto )

    Impostiamo ora il sistema:

    \begin{cases}y= -x^2+4x\\ y= m(x-4)\end{cases}

    A questo punto per sostituzione otteniamo l'equazione risolvente:

    -x^2+4x= mx-4m

    e quindi

    -x^2+(4-m)x+4m=0

    Determiniamo il discriminante:

    \Delta=(4-m)^2+16m= m^2+8m+16

    Impostiamo la condizione di tangenza:

    \Delta=0\iff m^2+8n+16=0

    le soluzioni di questa equazione sono:

    m=-4

    Quindi la retta tangente è:

    t:y= -4x+16

     

    La retta normale è un pratica la retta perpendicolare alla tangente nel punto considerato :)

    Considerando sempre il fascio di rette passante per A:

    n: y= m_n(x-4)

    Quello che ci manca è il coefficiente angolare m_n. Ma noi sappiamo che la normale è una retta perpendicolare alla retta t, quindi il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1:

    m_t\cdot m_n= -1

    Sappiamo che 

    m_{t}= -4

    quindi :

    -4m_n=-1\implies m_{n}= \frac{1}{4}

    possiamo asserire che la retta perpendicolare è:

    n: y= \frac{1}{4}x-1\iff -x+4y+4=0

    Ora sia P un punto che appartiene all'arco di parabola di estremi O e A. Esso avrà coordinate:

    P(x_0, -x_0^2+4x_0)\quad 0\le x_0\le 4

    A questo punto calcoliamo la distanza punto retta tra t e P

    \mbox{dist}(t, P)= \frac{|4x_0-x_0^2+4x_0-16|}{\sqrt{17}}= \frac{|-x_0^2+8x_0-16|}{\sqrt{17}}

    e la distanza tra il punto P e la retta normale:

    \mbox{dist}(n, P)= \frac{\left|-x_0+4(-x_0^2+4x_0)+4\right|}{\sqrt{17}}

    A questo punto sommiamo queste quantità e imponiamo che siano uguali a 22/sqrt(17)

    \frac{|-x_0^2+8x_0-16|}{\sqrt{17}}+\frac{\left|-x_0+4(-x_0^2+4x_0)+4\right|}{\sqrt{17}}= \frac{22}{\sqrt{17}}

    \frac{|-x_0^2+8x_0-16|}{\sqrt{17}}+\frac{\left|4+15x_0-4x_0^2\right|}{\sqrt{17}}= \frac{22}{\sqrt{17}}

    Minimo comune multiplo , semplifichiamo il denominatore:

    |-x_0^2+8x_0-16|+|-4x_0^2+15x_0+4|=22

    A questo punto nota che:

    -x_0^2+8x_0-16= -(x-4)^2\implies |-x_0^2+8x_0-16|= (x-4)^2

    Osserva inoltre che:

    -4x_0^2+15x_0+4>0\quad\mbox{quando } 0<x_0<4, possiamo quindi togliere il valore assoluto! :D

    quindi l'equazione diventa:

    (x_0-4)^2-4x_0^2+15x_0+4=22

    Scriviamo l'equazione in forma normale:

    -3x^2+7x-2=0

    le cui soluzioni sono:

    x_0= \frac{1}{3}\vee x_0= 2

    il punto P ha quindi coordinate:

    P\left(\frac{1}{3}, \frac{11}{9}\right) 

    oppure:

    P\left(2, 4\right)

    Oddio che fatica! :P

    Risposta di Ifrit
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Geometria