Soluzioni
  • Prima di tutto un'immagine per capire meglio:

     

    Esagono inscritto in una semicirconferenza

     

    Ora, sappiamo che gli angoli interni di un esagono regolare misurano tutti 120°, cioè (2/3)π, in particolare sappiamo che i triangoli come AOB hanno tutti angoli di 60° cioè π/3. Quindi AOB è un triangolo equilatero e ha lato r, infatti OA=OB=r, quindi deve essere AC=r.

    Ora scegliamo un angolo come incognita: sia x:=POB. Osserviamo subito che l'angolo COP deve essere:

    COP=\pi-\frac{\pi}{3}-x=\frac{2}{3}\pi-x

    Il problema ci chiede di trovare il punto P sull'arco BC, quindi l'angolo POB deve essere tale che

    0\leq POB\leq\frac{2}{3}\pi

    dove nei casi estremi P coinciderebbe rispettivamente con C e con B.

    Per risolvere il problema utilizziamo il teorema della corda, applichiamolo alla corda PB:

     

    Applicazione del teorema della corda

     

    Il teorema dice che

    PB=2r\sin(POH)=2r\sin\left(\frac{x}{2}\right)

    In questo modo abbiamo espresso PB in funzione della sola incognita x, dato che r è noto.

    Facciamo lo stesso per la corda CP:

    CP=2r\sin\left(\frac{2}{6}\pi-\frac{x}{2}\right)=2r\sin\left(\frac{1}{3}\pi-\frac{x}{2}\right)

    Ora abbiamo anche CP espresso nella sola x.

    Sappiamo quanto vale il perimetro del quadrilatero, quindi

    AC+PC+PB+AB=\frac{r(6+\sqrt{2}+\sqrt{6})}{2}

    A questo punto è sufficiente sostituire le espressione che abbiamo trovato per ciascun lato:

    PB=2r\sin\left(\frac{x}{2}\right)

    CP=2r\sin\left(\frac{1}{3}\pi-\frac{x}{2}\right)

    AC=r

    AB=2r

    Fatto questo sarà sufficiente risolvere l'equazione trigonometrica nell'incognita x:

    r+2r\sin\left(\frac{1}{3}\pi-\frac{x}{2}\right)+2r\sin\left(\frac{x}{2}\right)+2r=\frac{r(6+\sqrt{2}+\sqrt{6})}{2}

    Prova a risolverla utilizzando le formule per la somma del seno che trovi qui. Otterrai un'equazione trigonometrica in seno e coseno, ti basterà dividere per cos(x/2), per trovare un'equazione trigonometrica espressa nella sola tg(x/2), per trovare il valore di x userai la funzione inversa della tangente, cioè l'arcotangente. Otterrai una soluzione di questo tipo: x/2=arctan(...).

    Se hai problemi con i conti scrivi pure!

    Risposta di Alpha
  • Non ho capito il motivo per il quale nella parte del teorema della corda consideriamo l'angolo POH, e non l'angolo POB, dato che il teorema della corda dice che in ciascuna corda è uguale al prodotto del diametro per il seno di qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste su tale corda.

    Risposta di dav09
  • Perché il teorema della corda riguarda l'angolo alla circonferenza e non l'angolo al centro, come sai l'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro che insiste sulla stessa corda, quindi consideriamo l'angolo POH perché è proprio la metà di BOP dal momento che il triangolo BOP è isoscele, due dei suoi lati sono raggi della circonferenza e quindi l'altezza OH coincide con la bisettrice dell'angolo POB. Per questo motivo nel risolvere il problema ho usato x/2, e non x.

    Risposta di Alpha
 
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