Discussione con esagono regolare inscritto e semicirconferenza

Prima di tutto un'immagine per capire meglio:

Ora, sappiamo che gli angoli interni di un esagono regolare misurano tutti 120°, cioè (2/3)π, in particolare sappiamo che i triangoli come AOB hanno tutti angoli di 60° cioè π/3. Quindi AOB è un triangolo equilatero e ha lato r, infatti OA=OB=r, quindi deve essere AC=r.

Ora scegliamo un angolo come incognita: sia x:=POB. Osserviamo subito che l'angolo COP deve essere:

Il problema ci chiede di trovare il punto P sull'arco BC, quindi l'angolo POB deve essere tale che

dove nei casi estremi P coinciderebbe rispettivamente con C e con B.

Per risolvere il problema utilizziamo il teorema della corda, applichiamolo alla corda PB:

Il teorema dice che

In questo modo abbiamo espresso PB in funzione della sola incognita x, dato che r è noto.

Facciamo lo stesso per la corda CP:

Ora abbiamo anche CP espresso nella sola x.

Sappiamo quanto vale il perimetro del quadrilatero, quindi

A questo punto è sufficiente sostituire le espressione che abbiamo trovato per ciascun lato:

Fatto questo sarà sufficiente risolvere l'equazione trigonometrica nell'incognita x:

Prova a risolverla utilizzando le formule per la somma del seno che trovi qui. Otterrai un'equazione trigonometrica in seno e coseno, ti basterà dividere per cos(x/2), per trovare un'equazione trigonometrica espressa nella sola tg(x/2), per trovare il valore di x userai la funzione inversa della tangente, cioè l'arcotangente. Otterrai una soluzione di questo tipo: x/2=arctan(...).

Se hai problemi con i conti scrivi pure!

Non ho capito il motivo per il quale nella parte del teorema della corda consideriamo l'angolo POH, e non l'angolo POB, dato che il teorema della corda dice che in ciascuna corda è uguale al prodotto del diametro per il seno di qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste su tale corda.

Perché il teorema della corda riguarda l'angolo alla circonferenza e non l'angolo al centro, come sai l'angolo alla circonferenza è la metà dell'angolo al centro che insiste sulla stessa corda, quindi consideriamo l'angolo POH perché è proprio la metà di BOP dal momento che il triangolo BOP è isoscele, due dei suoi lati sono raggi della circonferenza e quindi l'altezza OH coincide con la bisettrice dell'angolo POB. Per questo motivo nel risolvere il problema ho usato x/2, e non x.