Soluzioni
  • Ciao kris arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Prima di cominciare ti consiglio di tenere a portata di mano il formulario sulla circonferenza. ;)

    Abbiamo due circonferenze:

    \Gamma_1: x^2+y^2= 4

    \Gamma_2:x^2+y^2-8x=0

    Concentriamoci sulla prima:

    \Gamma_1:x^2+y^2=4

    ha centro di coordinate:

    C_1(0, 0)

    e raggio:

    r_2=\sqrt{4} =2

    Adesso passiamo alla seconda circonferenza:

    x^2+y^2-8x=0

    Aggiungiamo e sottaiamo 16:

    x^2-8x+16+y^2-16=0

    Da cui:

    (x-4)^2+y^2= 16

    Da qui si comprende che il centro ha coordinate:

    C_2(4, 0)

    mentre il raggio della circonferenza è: 

    r_2=\sqrt{16} =4

    A questo punto consideriamo la generica equazione della retta:

    s:y= mx+q\iff mx-y+q=0

    Calcoliamo la distanza punto retta tra la retta generica e il centro C1:

    \mbox{distanza}(s, C_1)=\frac{|q|}{\sqrt{m^2+1}}

    Imponiamo che questa distanza sia uguale a r_1=2

    \frac{|q|}{\sqrt{m^2+1}}=2

    Eleviamo al quadrato membro a membro:

    \frac{q^2}{m^2+1}=4

    minimo comune multiplo:

    q^2= 4m^2+4

    Procediamo allo stesso modo con C_2 e r_2:

    \mbox{distanza}(s, C_2)= \frac{|4m+q|}{\sqrt{m^2+1}}

    Imponendo l'uguaglianza con r2:

    \frac{|4m+q|}{\sqrt{m^2+1}}= 4

    eleviamo al quadrato membro a membro:

    \frac{(4m+q)^2}{m^2+1}=16 

    minimo comune multiplo:

    (4m+q)^2= 16m^2+16

    16m^2+q^2+8m q= 16m^2+16

    Portiamo al primo membro e sommiamo i termini simili:

    q^2+8m q-16=0

    Impostiamo il sistema tra le due equazioni trovate:

    \begin{cases}q^2= 4m^2+4\\ q^2+8m q-16=0\end{cases}

    Portiamo tutto al primo membro:

    \begin{cases}q^2- 4m^2-4=0\\ q^2+8m q-16=0\end{cases}

    Sottraiamo membro a membro:

    -4m^2-4-8mq+12=0

    Da cui:

    -4m^2-8m q+12=0

    Risolviamo l'equazione rispetto a q

    q= \frac{3-m^2}{2m}

    Sostituiamo nella prima equazione del sistema:

    \frac{(3-m^2)^2}{4m^2}= 4m^2+4 

    Risolvemdo questa equazione otterrai:

    m_1=-\frac{1}{\sqrt{3}}

    da cui otterremo che:

    q_1=\frac{3-m_1^2}{2m}= -\frac{4}{\sqrt{3}}

    e

    m_2=\frac{1}{\sqrt{3}}

    da cui abbiamo 

    q_2= \frac{3-m_2^2}{2m}= \frac{4}{\sqrt{3}}

    Le rette sono quindi:

    s_1: y= -\frac{1}{\sqrt{3}}x-\frac{4}{\sqrt{3}}

    e

    s_2: y= \frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{4}{\sqrt{3}}

     

    Ammazza quanti conti!

    Risposta di Ifrit
  • grazie grazie grazie mille :D

    Risposta di Kris
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