Soluzioni
  • Ciao Cimino arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Procediamo con il metodo per calcolare la lunghezza di una curva. Consideriamo:

    r(t)= (e^{t}\cos(t), e^t \sin(t))\qquad t\in [0, 2\pi]

    Calcoliamo la derivata del vettore (derivata di ciascuna componente del vettore) r(t)

    r'(t)= (e^t (\cos(t)-\sin(t)), e^t(\cos(t)+\sin(t)))

    A questo punto calcoliamo la norma:

    ||r'(t)||= \sqrt{e^{2t} (\cos(t)-\sin(t))^2+e^{2t}(\cos(t)+\sin(t))^2}=

    \sqrt{e^{2t}\left(\cos^2(t)+\sin^2(t)-2\sin(t)\cos(t)+\cos^2(t)+\sin^2(t)+2\sin(t)\cos(t)\right)}

    Elidendo i termini opposti  e ricordando la relazione fondamentale della trigonometria:

    \sin^2(t)+\cos^2(t)= 1

    si ha che:

    ||r'(t)||= \sqrt{2e^{2t}}= \sqrt{2}e^{t}

    Dobbiamo quindi integrare:

    \ell= \int_0^{2\pi}||r'(t)||dt= \int_{0}^{2\pi}\sqrt{2}e^tdt=

    \sqrt{2}[e^t]_{0}^{2\pi}= \sqrt{2}\left(e^{2\pi}-1\right)

    che è la lunghezza della curva cercata :)

    Risposta di Ifrit
 
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