Soluzioni
  • Per risolvere il problema, bisogna impostare un sistema lineare con le equazioni che si ottengono traducendo il testo nel linguaggio matematico.

    Per prima cosa indichiamo con \alpha, \beta \ \mbox{e} \ \gamma rispettivamente il primo, il secondo e il terzo angolo del triangolo.

    La traccia ci informa che:

    - il primo angolo è i \frac{5}{4} del secondo, vale a dire

    \alpha=\frac{5}{4}\beta

    - il terzo angolo supera di 15 gradi la metà del secondo, ossia

    \gamma=\frac{1}{2}\beta+15^{\circ}

    Le due relazioni sono in buona sostanza le prime due equazioni del sistema, però non bastano per calcolare i valori dei tre angoli. In effetti dobbiamo aggiungere una condizione che non viene fornita dal testo che deriva direttamente dalla teoria: dobbiamo tenere a mente che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a un angolo piatto, di ampiezza 180^{\circ}

    \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}

    è pertanto l'ultima equazione che completa il sistema.

    Per non appesantire troppo le notazioni scriviamo il sistema lineare risolvente senza inserire le unità di misura

    \begin{cases}\alpha=\frac{5}{4}\beta \\ \\ \gamma=\frac{1}{2}\beta+15\\ \\ \alpha+\beta+\gamma=180\end{cases}

    Chiaramente esistono diverse strategie risolutive, la migliore consiste nell'applicare il metodo di sostituzione proprio perché nella prima equazione \alpha è espresso in termini di \beta, così come \gamma è scritto in funzione della medesima incognita nella terza equazione.

    Sostituendo le espressioni di \alpha \ \mbox{e} \ \gamma nella terza equazione, il sistema lineare diventa

    \begin{cases}\alpha=\frac{5}{4}\beta \\ \\ \gamma=\frac{1}{2}\beta+15\\ \\ \frac{5}{4}\beta+\beta+\frac{1}{2}\beta+15=180\end{cases}

    Il metodo di sostituzione ha permesso quindi di ottenere un'equazione di primo grado a coefficienti fratti e nella sola incognita \beta. Risolviamola calcolando il minimo comune multiplo dei denominatori

    \begin{cases}\alpha=\frac{5}{4}\beta \\ \\ \gamma=\frac{1}{2}\beta+15\\ \\ \frac{5\beta +4\beta+2\beta+60}{4}=\frac{720}{4}\end{cases}

    e una volta moltiplicati per 4 i due membri della terza equazione, il sistema lineare diviene

    \begin{cases}\alpha=\frac{5}{4}\beta \\ \\ \gamma=\frac{1}{2}\beta+15\\ \\ 5\beta +4\beta+2\beta+60=720\end{cases}

    Non ci resta che isolare i termini con l'incognita al primo membro e sommare in seguito i monomi simili

    \begin{cases}\alpha=\frac{5}{4}\beta \\ \\ \gamma=\frac{1}{2}\beta+15\\ \\ 11\beta=720-60\ \ \ \to \ \ \ \beta =\frac{660}{11}=60\end{cases}

    Dall'ultima equazione abbiamo scoperto che il secondo angolo misura 60^{\circ}, per ricavare gli altri due è sufficiente sostituire il valore ottenuto nelle altre due equazioni e svolgere i semplici calcoli

    \begin{cases}\alpha=\frac{5}{4}\cdot 60=75\\ \\ \gamma=\frac{1}{2}\cdot 60+15=30+15=45\\ \\ \beta=60\end{cases}

    Possiamo concludere quindi che l'ampiezza dei tre angoli del triangolo valgono rispettivamente

    \alpha=75^{\circ}\ \ \ , \ \ \ \beta=60^{\circ}\ \ \ , \ \ \ \gamma=45^{\circ}

    Problema risolto!

    Risposta di Ifrit
 
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