Soluzioni
  • Ciao candido arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Per prima cosa osserviamo che il fuoco giace sull'asse Y, infatti ha coordinate:

    F(0, \sqrt{39})

    Conseguentemente, l'equazione dell'iperbole è della forma (vedi le formule dell'iperbole - click)

    I:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1

    Imponiamo la condizione di appartenenza 

    A\in I\iff \frac{2^2}{a^2}-\frac{6^2}{b^2}=-1\iff \frac{4}{a^2}-\frac{36}{b^2}=-1

    Inoltre dalla relazione che lega i parametri dell'iperbole, abbiamo che:

    c^2= a^2+b^2

    dove c è l'ordinata del fuoco:

    a^2+b^2= (\sqrt{39})^2=39

    Abbiamo ottenuto due equazioni in due incognite:

    \begin{cases}\frac{4}{a^2}-\frac{36}{b^2}=-1\\ a^2+b^2= 39\end{cases}

    Per semplificare i calcoli, poniamo:

    a^2=u

    b^2= y

    Il sistema diventa:

    \begin{cases}\frac{4}{u}-\frac{36}{v}=-1\\ u+v= 39\end{cases}

    Dalla seconda equazione determiniamo u:

    u= 39-v

    Sostituiamo nella prima equazione:

    \frac{4}{39-v}-\frac{36}{v}= -1

    Minimo comune multiplo:

    \frac{4v-36(39-v)}{(39-v)v}= -\frac{(39-v)v}{(39-v)v}

    Il denominatore non serve più:

    4v-36(39-v)= -(39-v)v

    Sviluppando i conti otterrai l'equazione:

    -v^2+79v-1404=0

    Risolvendo l'equazione otterremo due soluzioni:

    v_1= 27

    v_2= 52

    Otteniamo il primo parametro:

    b^2= 27\vee b^2=52

    Ma attenzione, b^2<c^2

    quindi l'unica soluzione accettabile è:

    b^2=27

    Possiamo ottenere a^2 sostituendo il valore di b^2 appena trovato nella equazione:

    a^2+b^2= c^2\iff a^2= c^2-b^2\iff a^2= 39-27=12

    L'equazione dell'iperbole è quindi:

    \frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{27}=-1

    L'eccentricità dell'iperbole è:

    e=\frac{c}{b}= \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{27}}= \sqrt{\frac{13}{9}}

    mentre gli asintoti sono:

    y= \pm\frac{a}{b}x= \pm \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{27}}x= \pm \sqrt{\frac{12}{27}}x= \pm \sqrt{\frac{4}{9}}x= \pm \frac{2}{3}x

    Torna tutto? :)

    Risposta di Ifrit
  • Grazie Ifrit, mi ero bloccato perchè mi venivano 2 risulati per la b^2. Comunque ora ho capito; Federica95 aveva ragione, voi, ragazzi, siete bravissimi.

    Risposta di candido
 
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