Equazione dell'iperbole noto il fuoco ed un punto ad essa appartenente

Ciao, non riesco a risolvere un problema sull'equazione dell'iperbole, mi aiutate? Mi sono appena registrato grazie ad un' amica che mi ha consigliato questo sito.

Grazie raga.

Determinare l'equazione dell'iperbole di cui un fuoco ha coordinate F(0;√39) e passante per A (2;6); determinare inoltre asidonti ed eccentricità.

P.S. non so se potete, ma mi spiegate, in linea generale, come capire, data l'equazione generica di una conica traslata ( ax2+by2+cx+dy+e=0, dove a,b,c,d,e sono coefficienti) che tipo di conica è? Se rispondermi è in contrasto con la vostra linea guida, sorry.

Domanda di candido
Soluzioni

Ciao candido arrivo :D

Risposta di Ifrit

Per prima cosa osserviamo che il fuoco giace sull'asse Y, infatti ha coordinate:

F(0, √(39))

Conseguentemente, l'equazione dell'iperbole è della forma (vedi le formule dell'iperbole - click)

I:(x^2)/(a^2)−(y^2)/(b^2) = −1

Imponiamo la condizione di appartenenza 

A∈ I ⇔ (2^2)/(a^2)−(6^2)/(b^2) = −1 ⇔ (4)/(a^2)−(36)/(b^2) = −1

Inoltre dalla relazione che lega i parametri dell'iperbole, abbiamo che:

c^2 = a^2+b^2

dove c è l'ordinata del fuoco:

a^2+b^2 = (√(39))^2 = 39

Abbiamo ottenuto due equazioni in due incognite:

(4)/(a^2)−(36)/(b^2) = −1 ; a^2+b^2 = 39

Per semplificare i calcoli, poniamo:

a^2 = u

b^2 = y

Il sistema diventa:

(4)/(u)−(36)/(v) = −1 ; u+v = 39

Dalla seconda equazione determiniamo u:

u = 39−v

Sostituiamo nella prima equazione:

(4)/(39−v)−(36)/(v) = −1

Minimo comune multiplo:

(4v−36(39−v))/((39−v)v) = −((39−v)v)/((39−v)v)

Il denominatore non serve più:

4v−36(39−v) = −(39−v)v

Sviluppando i conti otterrai l'equazione:

−v^2+79v−1404 = 0

Risolvendo l'equazione otterremo due soluzioni:

v_1 = 27

v_2 = 52

Otteniamo il primo parametro:

b^2 = 27 ∨ b^2 = 52

Ma attenzione, b^2 < c^2

quindi l'unica soluzione accettabile è:

b^2 = 27

Possiamo ottenere a^2 sostituendo il valore di b^2 appena trovato nella equazione:

a^2+b^2 = c^2 ⇔ a^2 = c^2−b^2 ⇔ a^2 = 39−27 = 12

L'equazione dell'iperbole è quindi:

(x^2)/(12)−(y^2)/(27) = −1

L'eccentricità dell'iperbole è:

e = (c)/(b) = (√(39))/(√(27)) = √((13)/(9))

mentre gli asintoti sono:

y = ±(a)/(b)x = ±(√(12))/(√(27))x = ±√((12)/(27))x = ±√((4)/(9))x = ±(2)/(3)x

Torna tutto? :)

Risposta di Ifrit

Grazie Ifrit, mi ero bloccato perchè mi venivano 2 risulati per la b^2. Comunque ora ho capito; Federica95 aveva ragione, voi, ragazzi, siete bravissimi.

Risposta di candido

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