Soluzioni
  • Ciao Ercan, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Vogliamo studiare la convergenza/divergenza dell'integrale improprio

    \int_{0}^{+\infty}{\frac{\log{(1+x^a)}}{x^2}dx}

    dipendente dal parametro a. Procediamo studiando il comportamento asintotico della funzione integranda nell'intorno dei punti che rendono, per l'appunto, l'integrale improprio: vale a dire nell'intorno di x=0 e nell'intorno di +\infty.

    INTORNO DI 0

    Se a>0 possiamo applicare il confronto asintotico con la funzione

    \frac{\ln{(1+x^a)}}{x^2}\sim_{x\to 0}\frac{x^a}{x^2}

    grazie all'equivalenza asintotica suggerita dal limite notevole del logaritmo. In questo modo vediamo che l'integranda è asintoticamente equivalente, al tendere di x\to 0, a

    \frac{1}{x^{2-a}}

    per confronto asintotico con gli integrali impropri notevoli della tabella del link vediamo che abbiamo convergenza se

    2-a<1\to a>1 

    Nel caso in cui fosse a<0 avremmo a che fare con un integrale divergente.

    Se infine a=0 avremmo a che fare con un'integranda identicamente nulla.

    INTORNO DI +\infty

    Se a>0 possiamo passare, per equivalenza asintotica, a considerare l'integrale improprio di 

    \frac{\ln{(1+x^a)}}{x^2}\sim_{x\to +\infty}\frac{\log{(x^a)}}{x^2}=\frac{1}{ax^2\log^{-1}{(x)}}

    Per cui il confronto con gli integrali impropri notevoli della suddetta tabella ci dice che abbiamo convergenza per qualsiasi valore di a>0.

    In definitiva, l'integrale improprio converge per a>1\vee a=0.

    ---

    Se vuoi vedere esercizi svolti simili a questo (ce ne sono tantissimi), prova a effettuare una ricerca qui su YM, con parole chiave "integrale improprio con parametro" Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi