Soluzioni
  • Rispondiamo ai quesiti uno per volta, riportando di volta il volta il testo della domanda.

    1) È possibile che una matrice quadrata di ordine tre e a elementi reali abbia come autovalori quattro numeri reali distinti?

    No! Gli autovalori di una matrice quadrata A di ordine n sono gli zeri del polinomio caratteristico

    p_A(\lambda)=\mbox{det}(A-\lambda \mbox{Id}_n)

    che è un polinomio di grado n nell'incognita \lambda e, in quanto tale, ammette al massimo n radici reali.

    Alla luce di ciò, il polinomio caratteristico associato a una matrice di ordine tre ha, al più, tre radici reali, e quindi tale matrice non può avere quattro autovalori distinti.

    2) Esistono matrici reali di ordine quattro che hanno almeno un autovalore uguale a zero?

    Sì! Ricordando che gli autovalori di una matrice diagonale sono gli elementi della diagonale principale, una qualsiasi matrice diagonale 4 \times 4 che ha almeno un elemento della diagonale principale pari a zero è una matrice di ordine quattro con almeno un autovalore nullo.

    3) Esistono matrici di ordine tre che hanno due autovalori distinti, tra cui uno con molteplicità geometrica tre?

    No! Se una matrice di ordine tre ha due autovalori distinti, diciamoli \lambda_1 e \lambda_2, possono presentarsi le seguenti eventualità:

    - sia \lambda_1 che \lambda_2 hanno molteplicità algebrica uguale a 1;

    - \lambda_1 ha molteplicità algebrica 1 e \lambda_2 ha molteplicità algebrica 2;

    - \lambda_1 ha molteplicità algebrica 2 e \lambda_2 ha molteplicità algebrica 1.

    In generale, la molteplicità geometrica di un autovalore è minore o uguale di quella algebrica, per cui in una matrice di ordine tre con due autovalori distinti la molteplicità geometrica di un autovalore può essere al massimo 2.

    Risposta di Galois
 
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