Soluzioni
  • Ciao Trilligiorgi :)

    Avendo a che fare con un prisma retto i due rombi (quello alla base e quello ad esso opposto) sono congruenti. Fissiamo quindi la nostra attenzione su uno dei due; indichiamo con d_1 \ \mbox{e} \ d_2 le sue diagonali.

    Il problema ci fornisce il valore della loro somma e della loro differenza

    d_1+d_2=46 \ \mbox{cm} 

    d_1-d_2=16 \ \mbox{cm}

    Per trovarne la lunghezza possiamo procedere come visto nei problemi sui segmenti con somma e differenza, ovvero basta disegnare due segmenti di diversa lunghezza e trovarne la differenza (il segmento in rosso) che di cui sappiamo la misura (16 centimetri)

    Somma e differenza diagonali rombo

    Sottraendo tale valore alla somma abbiamo

    46-16=30 \ \mbox{cm}

    che corrisponde alla somma dei due segmenti congruenti (in blu).

    Ragion per cui ciascuno di essi misurerà

    30:2=15 \ \mbox{cm}

    e questa è proprio la lunghezza della diagonale minore d_2, mentre

    d_1=16+15=31 \ \mbox{cm}

     

    Un modo alternativo di procedere è quello di ricorrere alle equazioni di primo grado, ovvero, sapendo che

    d_1+d_2=46 \ \mbox{cm} 

    d_1-d_2=16 \ \mbox{cm}

    dalla seconda equazione possiamo ricavare il valore di 

    d_1=d_2 + 16

    e, sostituendo nella prima

    \underbrace{d_2+16}_{d_1}+d_2=46

    da cui, dopo qualche veloce conticino

    d_2=15 \ \mbox{cm}

    e quindi

    d_1=d_2+16=15+16=31 \ \mbox{cm}

     

    A questo punto, indipendentemente dal metodo che si sceglie, note le misure delle diagonali del rombo possiamo trovarne l'area.

    \mbox{S}_{\mbox{rombo}}=\frac{d_1 \cdot d_2}{2}=232,5 \ \mbox{cm}^2

    E, poiché conosciamo il volume del prisma, sfruttando la formula per il volume

    \mbox{V}=\mbox{S}_{\mbox{base}} \cdot \mbox{altezza}

    possiamo ricavare la misura dell'altezza del prisma che sarà data da:

    h=\frac{\mbox{V}}{\mbox{S}_{\mbox{rombo}}}=\frac{2640}{232,5} \simeq 11,35 \ \mbox{cm}

    (risultato approssimato alla seconda cifra decimale)

    Non resta che calcolare l'area della superficie totale del prisma

    \mbox{S}_{\mbox{tot}} = 2 \mbox{S}_{\mbox{base}}+\mbox{S}_{\mbox{lat}}=2\mbox{S}_{\mbox{base}}+\left(2p_{\mbox{base}}\cdot h\right)

    dove 2p_{\mbox{base}}=4l

    (in caso di dubbi dai un'occhiata alle formule del prisma) e per calcolare la misura del lato del rombo basta applicare il teorema di Pitagora

    l=\sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+\left(\frac{d_2}{2}\right)^2}

    Lascio a te l'uso della calcolatrice ;)

    Risposta di Omega
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