Soluzioni
  • Ciao Luigi, un attimo di pazienza e sono da te...

    Risposta di Omega
  • Per calcolare l'integrale

    \int{x[\ln{(x)}+\sin{(x^2+1)}]dx}

    possiamo riscriverlo nella forma

    \int{x\ln{(x)}dx}+\int{x\sin{(x^2+1)}dx}

    Il primo integrale lo si può risolvere con la formula di integrazione per parti, prendendo x come derivata, la cui primitiva è x^2/2 

    \int{x\ln{(x)}dx}=\frac{x^2}{2}\ln{(x)}-\int{\frac{x^2}{2}\frac{1}{x}dx}

    \int{x\ln{(x)}dx}=\frac{x^2}{2}\ln{(x)}-\int{\frac{x}{2}dx}

    \int{x\ln{(x)}dx}=\frac{x^2}{2}\ln{(x)}-\frac{1}{4}x^2+c_1

    Per quanto riguarda il secondo integrale, è immediato (grazie ad una nota formula di integrazione)

    \int{x\sin{(x^2+1)}dx}

    è sufficiente moltiplicare e dividere l'integranda per 2

    \frac{1}{2}\int{2x\sin{(x^2+1)}dx}

    e, in accordo con il teorema di derivazione della funzione composta applicato "al contrario"

    \frac{1}{2}\int{2x\sin{(x^2+1)}dx}=-\frac{1}{2}\cos{(x^2+1)}+c_2

    Ricomponi il tutto e ci sei Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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