Soluzioni
  • Ciao Federica, arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Sfrutteremo sempre la simmetria.  

    Fai uno schizzo di una ellisse con centro l'origine e traccia un rettangolo inscritto in essa. Grazie alla simmetria di tutto il sistema, possiamo considerare il rettangolo che giace nel primo quadrante la cui area corrisponde ad un quarto del rettangolo di partenza.

    In pratica un vertice del nuovo rettangolo è in (0,0) e la sua area misura:

    A_{rett}= \frac{16\sqrt{6}}{4}= 4\sqrt{6}

    Sia b=x_0>0 la base del nuovo rettangolo, necessariamente l'altezza si ottiene dall'equazione dell'ellisse:

    \frac{x_0^2}{12}+\frac{y_0^2}{36}=1

    Da cui isolando la y:

    y_0=\pm \sqrt{3(12-x_0^2)}

    Poiché stiamo lavorando nel primo quadrante (per una questione di comodità) allora dobbiamo prendere in considerazione l'espressione con il segno positivo.

    y_0= \sqrt{3(12-x_0^2)}

    Essa rappresenta l'altezza del nuovo rettangolo, pertanto l'area è:

    A_{rettangolo}= x_0\times y_0= x_0\sqrt{3(12-x_0^2)}= 4\sqrt{6}

    Abbiamo ottenuto l'equazione:

    x_0\sqrt{3(12-x_0^2)}= 4\sqrt{6}

    Eleviamo membro a membro al quadrato:

    x_0^2 \cdot (3(12-x_0^2))=96

    Poniamo:

    t= x_0^2

    L'equazione si riscrive come:

    t\cdot (36-3t)=96

    Da cui otteniamo:

    -3t^2+36t-96=0

    Si tratta di un'equazione di secondo grado, risolviamola

    t_1= 4\implies x_0^2= 4\iff x_0= \pm 2

    ma attenzione, noi stiamo considerando x_0>0  quindi la soluzione -2 è da scartare.

    t_2= 8\implies x_0^2= 8\iff x_0=\pm \sqrt{8}= \pm 2\sqrt{2}

    Come prima, stiamo lavorando con x_0>0 quindi la soluzione -2\sqrt{2} è da scartare.

    Osserva ora che se 

    x_0= 2

    allora 

    y_0=\sqrt{3(12-x_0^2)}=\sqrt{3(12-4)}= \sqrt{24}= 2\sqrt{6}

    I lati del rettangolo di partenza sono quindi:

    x_1=2x_0= 2\cdot 2= 4

    y_1= 2y_0= 2\cdot 2\sqrt{6}= 4\sqrt{6}

    Il perimetro sarà:

    P_1= 2\cdot(x_1+y_1)= 2\cdot(4+4\sqrt{6})= 8(1+\sqrt{6})

    Procediamo allo stesso modo per x_0= 2\sqrt{2}

    Si ha che:

    y_0= \sqrt{3(12-x_0^2)}= \sqrt{3(12-8)}=2\sqrt{3}

    I lati del rettangolo di partenza sono il doppio di quelli trovati:

    x_1=2\cdot x_0= 4\sqrt{2}

    y_1= 2\cdot 2\sqrt{3}= 4\sqrt{3}

    Il perimetro è quindi:

    P_{2}= 2\cdot(x_1+y_1)= 2(4\sqrt{2}+4\sqrt{3})=8(\sqrt{2}+\sqrt{3})

    Abbiamo finito. Esercizio bello tosto! :D

    Risposta di Ifrit
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