Soluzioni
  • Ciao Lorens arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo i seguenti dati:

    \begin{cases}AB=15\,\,cm\\ AD= 40\,\, cm\\ AC= 41\,\, cm\end{cases}

    mentre qui trovi tutte le formule e le proprietà del trapezio rettangolo.

    Possiamo calcolare l'altezza tramite le formule inverse del teorema di pitagora applicato al triangolo rettangolo CDA

    CD= \sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{41^2-40^2}= 9\,\, cm

    Sia H il punto sul lato AD, piede dell'altezza del trapezio passante per B. Si ha che:

    BH= CD

    A questo punto sempre con il teorema di pitagora possiamo calcolare la proiezione del lato obliquo sulla base:

    AH=\sqrt{AB^2-AH^2}= \sqrt{15^2-9^2}=12\,\, cm

    Avendo la proiezione del lato obliquo possiamo calcolare la base minore del trapezio:

    BC= AD-AH= 40\,\, cm-12\,\, cm=28\,\, cm

    A questo punto osserviamo che quando il trapezio ruota rispetto alla base maggiore, verrà a generarsi un solido. Questo solido può essere scomposto come unione di due solidi notevoli. In particolare abbiamo un cilindro il cui raggio di base coincide con CD mentre l'altezza coincide con BC:

    La superficie laterale è:

    S_{lat\,\, cilindro}= 2\pi CD\times BC= 2\pi \cdot 9\cdot 28= 504\pi\,\, cm^2

    La superficie di base vale:

    A_{base\,\, cilindro}= \pi r^2= \pi CD^2= 81\pi\,\, cm^2

    Mentre il volume è:

    V_{cilindro}=\pi CD^2 BC=9^2\cdot 28 \pi=2268\pi \,\, cm^3

     

    Adesso concentriamoci sull'altro solido, un cono generato dal triangolo ABH, di raggio di base BH e altezza AH e apotema congruo a AB.

    La superficie laterale del cono è:

    S_{lat\,\, cono}= \pi \times r\times a= \pi \times BH\times AB= 15\times 9\times \pi=135\pi \,\, cm^2

    Il volume invece è:

    V_{cono}= \frac{\pi\times r^2\times h}{3}= \frac{\pi \times BH^2\times AH}{3}= \frac{9^2\times 12}{3}\pi=324\,\, \pi\,\, cm^3

     

    La superficie totale del solido è data da:

    S_{tot\,\, solido}= S_{lat\,\, cono }+S_{lat\,\, cilindro}+A_{base\,\, cilindro}=

    = 135\,\, \pi+504\,\, \pi+81\,\, pi=720\pi\,\, cm^2

     Il volume è invece:

    V_{tot}= V_{cilindro}+V_{cono}= 2268\pi +324\pi= 2592\pi\,\, cm^3

    Risposta di Ifrit
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