Sistema di due equazioni in due incognite

Per risolvere il sistema di equazioni di secondo grado

possiamo usare il metodo del confronto, strategia tipica dei sistemi lineari. Per prima cosa isoliamo ai primi membri dell'equazione

Poiché i primi membri delle equazioni sono uguali, dovranno esserlo anche i secondi membri (proprietà transitiva dell'uguaglianza) pertanto possiamo sostituire una delle relazioni del sistema (ad esempio la seconda) con l'equazione formata dai secondi membri delle due equazioni

Semplifichiamo la seconda relazione cancellando i 4 e trasportiamo al primo membro cambiandogli il segno

Concentriamoci sull'equazione in due incognite

Per poterla analizzare, scomponiamo il polinomio con la regola della differenza di quadrati

e avvaliamoci della legge di annullamento del prodotto: essa garantisce che il prodotto al primo membro è uguale a zero se e solo se almeno uno dei fattori presenti è uguale a zero, vale a dire:

Ci siamo! È giunto il momento di trarre le conclusioni: bisogna essere molto attenti in questa fase, perché è facilissimo commettere errori e perdere soluzioni durante i passaggi.

Se allora , di conseguenza l'altra relazione del sistema, vale a dire

diventa

Ci siamo ricondotti a un'equazione pura che ammette due soluzioni reali:

A ciascuno dei valori di dobbiamo associare le relative sfruttando l'uguaglianza .

Se , la relazione consente di scrivere , ricavando così la prima coppia che soddisfa il sistema

Se , dalla relazione otteniamo il valore , per cui la seconda coppia soluzione del sistema è:

Ottimo, abbiamo esaminato il caso , ma ancora non abbiamo finito: dobbiamo analizzare anche il caso

Sotto tale vincolo, la relazione diventa

Essa è chiaramente un'equazione impossibile in quanto il quadrato di un numero reale non può essere mai uguale a un numero negativo.

In conclusione, il sistema di equazioni

ammette due soluzioni e sono:

Abbiamo finito!