Soluzioni
  • Per risolvere il sistema di equazioni di secondo grado

    y^2+4-2xy = 0 ; 2xy-x^2-4 = 0

    possiamo usare il metodo del confronto, strategia tipica dei sistemi lineari. Per prima cosa isoliamo 2xy ai primi membri dell'equazione

    2xy = y^2+4 ; 2xy = x^2+4

    Poiché i primi membri delle equazioni sono uguali, dovranno esserlo anche i secondi membri (proprietà transitiva dell'uguaglianza) pertanto possiamo sostituire una delle relazioni del sistema (ad esempio la seconda) con l'equazione formata dai secondi membri delle due equazioni

    2xy = y^2+4 ; y^2+4 = x^2+4

    Semplifichiamo la seconda relazione cancellando i 4 e trasportiamo x^2 al primo membro cambiandogli il segno

    2xy = y^2+4 ; y^2-x^2 = 0

    Concentriamoci sull'equazione in due incognite

    y^2-x^2 = 0

    Per poterla analizzare, scomponiamo il polinomio y^2-x^2 con la regola della differenza di quadrati

    (y-x)(y+x) = 0

    e avvaliamoci della legge di annullamento del prodotto: essa garantisce che il prodotto al primo membro è uguale a zero se e solo se almeno uno dei fattori presenti è uguale a zero, vale a dire:

    y-x = 0 oppure y+x = 0

    Ci siamo! È giunto il momento di trarre le conclusioni: bisogna essere molto attenti in questa fase, perché è facilissimo commettere errori e perdere soluzioni durante i passaggi.

    Se y-x = 0 allora y = x, di conseguenza l'altra relazione del sistema, vale a dire

    2xy = y^2+4

    diventa

    2x^2 = x^2+4 → x^2 = 4

    Ci siamo ricondotti a un'equazione pura che ammette due soluzioni reali:

    x_(1) = -2 , x_2 = 2

    A ciascuno dei valori di x dobbiamo associare le relative y sfruttando l'uguaglianza y = x.

    Se x = -2, la relazione y = x consente di scrivere y = -2, ricavando così la prima coppia che soddisfa il sistema

    (x,y) = (-2,-2)

    Se x = 2, dalla relazione y = x otteniamo il valore y = 2, per cui la seconda coppia soluzione del sistema è:

    (x,y) = (2,2)

    Ottimo, abbiamo esaminato il caso y-x = 0, ma ancora non abbiamo finito: dobbiamo analizzare anche il caso

    y+x = 0 → y = -x

    Sotto tale vincolo, la relazione 2xy = y^2+4 diventa

    2x(-x) = (-x)^2+4 → -2x^2 = x^2+4 → x^2 = -4

    Essa è chiaramente un'equazione impossibile in quanto il quadrato di un numero reale non può essere mai uguale a un numero negativo.

    In conclusione, il sistema di equazioni

    y^2+4-2xy = 0 ; 2xy-x^2-4 = 0

    ammette due soluzioni e sono:

    (x,y) = (-2,-2) e (x,y) = (2,2)

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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