Disequazione logaritmica con base 3 e radice di 3

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Ciao, nello svolgimento di una disequazione logaritmica con basi 3 e radice di 3 non mi trovo con il risultato: intanto scrivo la disequazione:

 

\log_{\sqrt{3}}{(x)}-5\log_{3}{(x)}<2

 

Potreste spiegarmi come risolverla con il cambio di base? Grazie mille!

Domanda di dany92

 
Soluzioni

  • Abbiamo la disequazione logaritmica

    \log_{\sqrt{3}}(x)-5\log_3(x)<2

    Per prima cosa osserva che il campo d'esistenza è:

    \mbox{C.E}: x>0

    Hai proposto di usare la formula del cambiamento di base, in particolare:

    \log_3(x)= \frac{\log_{\sqrt{3}}(x)}{\log_{\sqrt{3}}(3)} 

    Osserva ora che:

    \log_{\sqrt{3}}(3)= \log_{\sqrt{3}}((\sqrt{3})^2)= 2

    Quindi:

    \log_3(x)= \frac{\log_{\sqrt{3}}(x)}{2} 

    Sostituendo nella disequazione otteniamo:

    \log_{\sqrt{3}}(x)-\frac{5\log_{\sqrt{3}}(x)}{2}<2

    Facciamo il minimo comune multiplo:

    \frac{2\log_{\sqrt{3}}(x)-5\log_{\sqrt{3}}(x)}{2}<\frac{4}{2}

    Semplificando il denominatore e sommando i termini simili otteniamo la disequazione equivalente:

    -3\log_{\sqrt{3}}(x)<4 

    Da cui

    3\log_{\sqrt{3}}(x)>-4

    dividiamo membro a membro per 3

    \log_{\sqrt{3}}(x)>-\frac{4}{3}

    e di conseguenza:

    x>(\sqrt{3})^{-\frac{4}{3}}= \frac{1}{\sqrt[3]{(\sqrt{3})^{4}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}

    Risposta di Ifrit
 
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