Soluzioni
  • Ciao federica95 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo un'ellisse (click per le formule) che si presenta nella forma:

    E:(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2) = 1

    Iniziamo col dire che poiché i fuochi sono punti simmetrici rispetto all'origine, allora l'ellisse ha centro nell'origine inoltre otteniamo come giustamente hai detto che:

    c^2 = a^2-b^2 ⇔ a^2-b^2 = 15

    Grazie all'elevata simmetria del sistema, possiamo asserire che il quadrato inscritto nell'ellisse ha vertici di coordinate:

    A = (2,2), B = (-2, 2), C = (-2,-2), D = (2,-2)

    Inoltre questi punti devono appartenere all'ellisse.

    Imponiamo la condizione di appartenenza del punto A:

    A∈ E ⇔ (4)/(a^2)+(4)/(b^2) = 1

    Otteniamo quindi il seguente sistema:

    (4)/(a^2)+(4)/(b^2) = 1 ; a^2-b^2 = 15

    Dalla seconda equazione otteniamo che:

    a^2 = 15+b^2

    sostituiamo nella prima equazione:

    (4)/(15+b^2)+(4)/(b^2) = 1

    Minimo comune multiplo:

    (4b^2+4(15+b^2))/(b^2(15+b^2)) = (b^2(15+b^2))/(b^2(15+b^2))

    Il denominatore non serve più:

    4b^2+4(15+b^2) = b^2(15+b^2)

    Poniamo 

    t = b^2

    l'equazione diventa:

    4t+60+4t = t(15+t)

    Scriviamo in forma normale l'equazione:

    60-7t-t^2 = 0

    e risolviamola: si tratta di una comunissima equazione di secondo grado, le cui soluzioni sono:

    t_1 = -12

    e

    t_2 = 5

    La prima soluzione non è accettabile perché è negativa, solo la seconda va bene.

    Abbiamo quindi che:

    t_2 = 5 = b^2

    Abbiamo ottenuto il valore di b^2

    per determinare quello di a^2 dobbiamo invece sostituire il valore ottenuto nella seconda equazione del sistema:

    a^2 = 15+b^2 = 15+5 = 20

    Di conseguenza, l'equazione dell'ellisse è:

    (x^2)/(20)+(y^2)/(5) = 1

    Facendo il minimo comune multiplo:

    x^2+4y^2 = 20

    Il tuo errore sta nel fatto che hai determinato l'equazione dell'ellisse inscritta nel quadrato anche se in realtà un ellisse inscritta in un quadrato è solo una circonferenza. :)

    Risposta di Ifrit
  • Grazie mille!!! Wink

    Risposta di Federica95
 
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