Equazione dell'ellisse con i fuochi e quadrato inscritto

Ciao, ho provato a svolgere il seguente esercizio sull'equazione dell'ellisse, ma non mi torna il risultato, potere aiutarmi? Grazie!

Determina l'equazione di un'ellisse sapendo che ha i fuochi di coordinate ( + -√15 ;0) e che il quadrato inscritto nell'ellisse avente i lati paralleli agli assi cartesiani ha perimetro 16.

Ho pensato che se il perimetro del quadrato è 16 allora l'asse minore è 4 e quindi b=2. Poi sapendo che c²=a²-b² ho dedotto che a² fosse uguale a 19 ( a²-4=15), l'equazione dell'ellisse sarebbe quindi x²/19 + y²/4 =1, ma la soluzione del libro riporta che l'equazione dell'ellisse è x²+4y²=20.

Potresti spiegarmi quale sia il mio errore.

Grazie.

In Superiori - Geometria - Domanda di Federica95

Soluzioni

Ciao federica95 arrivo :D

Risposta di Ifrit
Abbiamo un'ellisse (click per le formule) che si presenta nella forma:

$E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Iniziamo col dire che poiché i fuochi sono punti simmetrici rispetto all'origine, allora l'ellisse ha centro nell'origine inoltre otteniamo come giustamente hai detto che:

$c^2= a^2-b^2\iff a^2-b^2= 15$

Grazie all'elevata simmetria del sistema, possiamo asserire che il quadrato inscritto nell'ellisse ha vertici di coordinate:

Inoltre questi punti devono appartenere all'ellisse.

Imponiamo la condizione di appartenenza del punto A:

$A\in E\iff \frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1$

Otteniamo quindi il seguente sistema:

$\begin{cases}\frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1\\ a^2-b^2= 15\end{cases}$

Dalla seconda equazione otteniamo che:

sostituiamo nella prima equazione:

$\frac{4}{15+b^2}+\frac{4}{b^2}=1$

Minimo comune multiplo:

$\frac{4b^2+4(15+b^2)}{b^2(15+b^2)}= \frac{b^2(15+b^2)}{b^2(15+b^2)}$

Il denominatore non serve più:

Poniamo

l'equazione diventa:

Scriviamo in forma normale l'equazione:

e risolviamola: si tratta di una comunissima equazione di secondo grado, le cui soluzioni sono:

e

La prima soluzione non è accettabile perché è negativa, solo la seconda va bene.

Abbiamo quindi che:

Abbiamo ottenuto il valore di

per determinare quello di a^2 dobbiamo invece sostituire il valore ottenuto nella seconda equazione del sistema:

Di conseguenza, l'equazione dell'ellisse è:

$\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1$

Facendo il minimo comune multiplo:

Il tuo errore sta nel fatto che hai determinato l'equazione dell'ellisse inscritta nel quadrato anche se in realtà un ellisse inscritta in un quadrato è solo una circonferenza. :)

Risposta di Ifrit
Grazie mille!!!

Risposta di Federica95