Equazione dell'ellisse con i fuochi e quadrato inscritto

Abbiamo un'ellisse (click per le formule) che si presenta nella forma:

Iniziamo col dire che poiché i fuochi sono punti simmetrici rispetto all'origine, allora l'ellisse ha centro nell'origine inoltre otteniamo come giustamente hai detto che:

Grazie all'elevata simmetria del sistema, possiamo asserire che il quadrato inscritto nell'ellisse ha vertici di coordinate:

Inoltre questi punti devono appartenere all'ellisse.

Imponiamo la condizione di appartenenza del punto A:

Otteniamo quindi il seguente sistema:

Dalla seconda equazione otteniamo che:

sostituiamo nella prima equazione:

Minimo comune multiplo:

Il denominatore non serve più:

Poniamo 

l'equazione diventa:

Scriviamo in forma normale l'equazione:

e risolviamola: si tratta di una comunissima equazione di secondo grado, le cui soluzioni sono:

e

La prima soluzione non è accettabile perché è negativa, solo la seconda va bene.

Abbiamo quindi che:

Abbiamo ottenuto il valore di

per determinare quello di a^2 dobbiamo invece sostituire il valore ottenuto nella seconda equazione del sistema:

Di conseguenza, l'equazione dell'ellisse è:

Facendo il minimo comune multiplo:

Il tuo errore sta nel fatto che hai determinato l'equazione dell'ellisse inscritta nel quadrato anche se in realtà un ellisse inscritta in un quadrato è solo una circonferenza. :)