Equazione dell'ellisse con i fuochi e quadrato inscritto

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Ciao, ho provato a svolgere il seguente esercizio sull'equazione dell'ellisse, ma non mi torna il risultato, potere aiutarmi? Grazie!Smile

 

Determina l'equazione di un'ellisse sapendo che ha i fuochi di coordinate ( + -√15 ;0) e che il quadrato inscritto nell'ellisse avente i lati paralleli agli assi cartesiani ha perimetro 16.

Ho pensato che se il perimetro del quadrato è 16 allora l'asse minore è 4 e quindi b=2. Poi sapendo che c2=a2-b2 ho dedotto che a2 fosse uguale a 19 ( a2-4=15), l'equazione dell'ellisse sarebbe quindi x2/19 + y2/4 =1, ma la soluzione del libro riporta che l'equazione dell'ellisse è x2+4y2=20.

Potresti spiegarmi quale sia il mio errore.

 

Grazie.

Domanda di Federica95

 
Soluzioni

  • Ciao federica95 arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Abbiamo un'ellisse (click per le formule) che si presenta nella forma:

    E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1

    Iniziamo col dire che poiché i fuochi sono punti simmetrici rispetto all'origine, allora l'ellisse ha centro nell'origine inoltre otteniamo come giustamente hai detto che:

    c^2= a^2-b^2\iff a^2-b^2= 15

    Grazie all'elevata simmetria del sistema, possiamo asserire che il quadrato inscritto nell'ellisse ha vertici di coordinate:

    A=(2,2), B=(-2, 2), C=(-2, -2), D=(2, -2)

    Inoltre questi punti devono appartenere all'ellisse.

    Imponiamo la condizione di appartenenza del punto A:

    A\in E\iff \frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1

    Otteniamo quindi il seguente sistema:

    \begin{cases}\frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1\\ a^2-b^2= 15\end{cases}

    Dalla seconda equazione otteniamo che:

    a^2= 15+b^2

    sostituiamo nella prima equazione:

    \frac{4}{15+b^2}+\frac{4}{b^2}=1

    Minimo comune multiplo:

    \frac{4b^2+4(15+b^2)}{b^2(15+b^2)}= \frac{b^2(15+b^2)}{b^2(15+b^2)}

    Il denominatore non serve più:

    4b^2+4(15+b^2)= b^2(15+b^2)

    Poniamo 

    t= b^2

    l'equazione diventa:

    4t+60+4t=t(15+t)

    Scriviamo in forma normale l'equazione:

    60-7t-t^2=0

    e risolviamola: si tratta di una comunissima equazione di secondo grado, le cui soluzioni sono:

    t_1= -12

    e

    t_2=5

    La prima soluzione non è accettabile perché è negativa, solo la seconda va bene.

    Abbiamo quindi che:

    t_2=5= b^2

    Abbiamo ottenuto il valore di b^2

    per determinare quello di a^2 dobbiamo invece sostituire il valore ottenuto nella seconda equazione del sistema:

    a^2=15+b^2=15+5= 20

    Di conseguenza, l'equazione dell'ellisse è:

    \frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{5}=1

    Facendo il minimo comune multiplo:

    x^2+4y^2=20

    Il tuo errore sta nel fatto che hai determinato l'equazione dell'ellisse inscritta nel quadrato anche se in realtà un ellisse inscritta in un quadrato è solo una circonferenza. :)

    Risposta di Ifrit

  • Grazie mille!!! Wink

    Risposta di Federica95
 
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