Ciao Namis,
prima di tutto ci serve la matrice associata all'applicazione lineare:
Per l'iniettività, studiamo il nucleo. Se il nucleo è banale, cioè
allora è iniettiva, altrimenti no.
Qui il nucleo è evidentemente banale! (Prendi la generica immagine e ponila uguale al vettore nullo; vedrai che l'unica soluzione possibile è il vettore nullo).
Per la suriettività, il teorema della nullità più rango viene in nostro aiuto:
cioè
Quindi a fortiori se ne deduce che l'immagine dell'applicazione lineare è
, e che l'applicazione è suriettiva.
Per gli autovalori, basta trovare gli zeri del polinomio caratteristico:
dove Id è la matrice identità. Trovi:
Per trovare gli autospazi associati agli autovalori, basta trovare una base per ciascuno di essi: trova gli autovettori associati a ciascun autovalore. Trova inoltre le molteplicità geometriche dei singoli autovalori (dimensione dell'autospazio associato all'autovalore)
Ora:
- se la somma degli autovalori, ciacuno contato con la relativa molteplicità, coincide con l'ordine della matrice (3)
e
- se per ogni autovalore molteplicità algebrica e geometrica coincidono
allora la matrice è diagonalizzabile.
Per evidenti motivi non posso riportare tutti i calcoli (sta a te farli ;) ), ad ogni modo per lo studio della diagonalizzabilità ti rimando a questa guida: matrici diagonalizzabili.
Se hai problemi, chiedi pure!
Namasté - Agente
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