Applicazioni lineari: iniettività, suriettività, autovalori, autospazi, diagonalizzabile?

Ciao Namis,

prima di tutto ci serve la matrice associata all'applicazione lineare:

Per l'iniettività, studiamo il nucleo. Se il nucleo è banale, cioè

allora è iniettiva, altrimenti no.

Qui il nucleo è evidentemente banale! (Prendi la generica immagine e ponila uguale al vettore nullo; vedrai che l'unica soluzione possibile è il vettore nullo).

Per la suriettività, il teorema della nullità più rango viene in nostro aiuto:

cioè

Quindi a fortiori se ne deduce che l'immagine dell'applicazione lineare è , e che l'applicazione è suriettiva.

Per gli autovalori, basta trovare gli zeri del polinomio caratteristico:

dove Id è la matrice identità. Trovi:

Per trovare gli autospazi associati agli autovalori, basta trovare una base per ciascuno di essi: trova gli autovettori associati a ciascun autovalore. Trova inoltre le molteplicità geometriche dei singoli autovalori (dimensione dell'autospazio associato all'autovalore)

Ora:

- se la somma degli autovalori, ciacuno contato con la relativa molteplicità, coincide con l'ordine della matrice (3)

e

- se per ogni autovalore molteplicità algebrica e geometrica coincidono

allora la matrice è diagonalizzabile.

Per evidenti motivi non posso riportare tutti i calcoli (sta a te farli ;) ), ad ogni modo per lo studio della diagonalizzabilità ti rimando a questa guida: matrici diagonalizzabili.

Se hai problemi, chiedi pure!

Namasté - Agente