Soluzioni
  • Ciao Namis,

    prima di tutto ci serve la matrice associata all'applicazione lineare:

    A=\left[\begin{matrix}2&0&0\\ 1&-2&0\\ 0&2&-1 \end{matrix}\right]

    Per l'iniettività, studiamo il nucleo. Se il nucleo è banale, cioè

    Ker(f)=\underline{0}

    allora è iniettiva, altrimenti no.

    Qui il nucleo è evidentemente banale! (Prendi la generica immagine e ponila uguale al vettore nullo; vedrai che l'unica soluzione possibile è il vettore nullo).

    Per la suriettività, il teorema della nullità più rango viene in nostro aiuto:

    dim\left(\mathbb{R}^3\right)=dim\left(Ker(f)\right)+dim\left(Im(f)\right)

    cioè

    dim\left(Im(f)\right)=3-0=3

    Quindi a fortiori se ne deduce che l'immagine dell'applicazione lineare è \mathbb{R}^3, e che l'applicazione è suriettiva.

    Per gli autovalori, basta trovare gli zeri del polinomio caratteristico:

    P(\lambda)=Det\left(A-\lambda Id\right)

    dove Id è la matrice identità. Trovi:

    \lambda=1\mbox{, }\pm 2

    Per trovare gli autospazi associati agli autovalori, basta trovare una base per ciascuno di essi: trova gli autovettori associati a ciascun autovalore. Trova inoltre le molteplicità geometriche dei singoli autovalori (dimensione dell'autospazio associato all'autovalore)

    Ora:

    - se la somma degli autovalori, ciacuno contato con la relativa molteplicità, coincide con l'ordine della matrice (3)

    e

    - se per ogni autovalore molteplicità algebrica e geometrica coincidono

    allora la matrice è diagonalizzabile.

    Per evidenti motivi non posso riportare tutti i calcoli (sta a te farli ;) ), ad ogni modo per lo studio della diagonalizzabilità ti rimando a questa guida: matrici diagonalizzabili.

    Se hai problemi, chiedi pure!

    Namasté - Agente \Omega

    Risposta di Omega
 
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