Applicazioni lineari: iniettività, suriettività, autovalori, autospazi, diagonalizzabile?

Volevo sapere come si svolge questo esercizio su un'applicazione lineare di cui devo discutere l'iniettività, la suriettività, gli autospazi e la diagonalizzabilità.

Sia $f :\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ l'applicazione lineare tale che :

- dire se f è iniettiva e suriettiva;

- Calcolare autovalori e autospazi di f

- dire se f è diagonalizzabile e perchè

Teoria: cosa vuol dire che v è autovettore dell'endomorfismo $f:V\to V'$ relativo all'autovalore t?

Grazie mille!

Domanda di namis

Soluzioni

Ciao Namis,
prima di tutto ci serve la matrice associata all'applicazione lineare:
$A=\left[\begin{matrix}2&0&0\\ 1&-2&0\\ 0&2&-1 \end{matrix}\right]$
Per l'iniettività, studiamo il nucleo. Se il nucleo è banale, cioè
$Ker(f)=\underline{0}$
allora è iniettiva, altrimenti no.
Qui il nucleo è evidentemente banale! (Prendi la generica immagine e ponila uguale al vettore nullo; vedrai che l'unica soluzione possibile è il vettore nullo).
Per la suriettività, il teorema della nullità più rango viene in nostro aiuto:
$dim\left(\mathbb{R}^3\right)=dim\left(Ker(f)\right)+dim\left(Im(f)\right)$
cioè
$dim\left(Im(f)\right)=3-0=3$
Quindi a fortiori se ne deduce che l'immagine dell'applicazione lineare è $\mathbb{R}^3$ , e che l'applicazione è suriettiva.
Per gli autovalori, basta trovare gli zeri del polinomio caratteristico:
$P(\lambda)=Det\left(A-\lambda Id\right)$
dove Id è la matrice identità. Trovi:
$\lambda=1\mbox{, }\pm 2$
Per trovare gli autospazi associati agli autovalori, basta trovare una base per ciascuno di essi: trova gli autovettori associati a ciascun autovalore. Trova inoltre le molteplicità geometriche dei singoli autovalori (dimensione dell'autospazio associato all'autovalore)
Ora:
- se la somma degli autovalori, ciacuno contato con la relativa molteplicità, coincide con l'ordine della matrice (3)
e
- se per ogni autovalore molteplicità algebrica e geometrica coincidono
allora la matrice è diagonalizzabile.
Per evidenti motivi non posso riportare tutti i calcoli (sta a te farli ;) ), ad ogni modo per lo studio della diagonalizzabilità ti rimando a questa guida: matrici diagonalizzabili.
Se hai problemi, chiedi pure!
Namasté - Agente $\Omega$
Risposta di Omega

MEDIE	Geometria	Algebra e Aritmetica
SUPERIORI	Algebra	Geometria	Analisi	Altro
UNIVERSITÀ	Analisi	Algebra Lineare	Algebra	Altro
EXTRA	Pillole	Wiki

Le più lette

Esercizi simili e domande correlate

1
Risposta
Autovettori e autospazi, come si calcolano?
In Wiki, domanda di namis
4
Soluzioni
Esercizio applicazioni lineari: iniettività/suriettività, base e immagine.
In Università - Algebra Lineare, domanda di namis

Domande della categoria Università - Algebra Lineare

1
Risposta
Esistenza di una funzione iniettiva
In Università - Algebra Lineare, domanda di Giulialg88
1
Risposta
Applicazione lineare con parametro come isomorfismo
In Università - Algebra Lineare, domanda di xavier310
1
Risposta
Sistema lineare con due equazioni e un parametro
In Università - Algebra Lineare, domanda di MaxB
1
Risposta
Scrivere un sistema lineare note le soluzioni
In Università - Algebra Lineare, domanda di Giulialg88
1
Risposta
Capire se una funzione è un endomorfismo
In Università - Algebra Lineare, domanda di povi