Soluzioni
  • Ciao Namis,

    prima di tutto ci serve la matrice associata all'applicazione lineare:

    A = [2 0 0 ; 1 -2 0 ; 0 2 -1 ]

    Per l'iniettività, studiamo il nucleo. Se il nucleo è banale, cioè

    Ker(f) = underline0

    allora è iniettiva, altrimenti no.

    Qui il nucleo è evidentemente banale! (Prendi la generica immagine e ponila uguale al vettore nullo; vedrai che l'unica soluzione possibile è il vettore nullo).

    Per la suriettività, il teorema della nullità più rango viene in nostro aiuto:

    dim(R^3) = dim(Ker(f))+dim(Im(f))

    cioè

    dim(Im(f)) = 3-0 = 3

    Quindi a fortiori se ne deduce che l'immagine dell'applicazione lineare è R^3, e che l'applicazione è suriettiva.

    Per gli autovalori, basta trovare gli zeri del polinomio caratteristico:

    P(λ) = Det(A-λ Id)

    dove Id è la matrice identità. Trovi:

    λ = 1,±2

    Per trovare gli autospazi associati agli autovalori, basta trovare una base per ciascuno di essi: trova gli autovettori associati a ciascun autovalore. Trova inoltre le molteplicità geometriche dei singoli autovalori (dimensione dell'autospazio associato all'autovalore)

    Ora:

    - se la somma degli autovalori, ciacuno contato con la relativa molteplicità, coincide con l'ordine della matrice (3)

    e

    - se per ogni autovalore molteplicità algebrica e geometrica coincidono

    allora la matrice è diagonalizzabile.

    Per evidenti motivi non posso riportare tutti i calcoli (sta a te farli ;) ), ad ogni modo per lo studio della diagonalizzabilità ti rimando a questa guida: matrici diagonalizzabili.

    Se hai problemi, chiedi pure!

    Namasté - Agente Ω

    Risposta di Omega
 
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