Esercizio con disequazione omogenea in seno e coseno

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Ciao non riesco a capire in questa tipologia di disequazioni dove sbaglio, però è sempre lo stesso l'errore

sin(x)-2cos(x)-1<0 con sin(x)=X e cos(x)=Y

nel sistema ho quindi

{ X-2Y-1<0

{X2-Y2=1

 

però poi non capisco perchè i valori di intersezione tra la circonferenza e la retta mi escono sempre sballati. Potreste aiutarmi? Grazie:)

Domanda di matol

 
Soluzioni

  • Ciao Matol, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • C'è un errore abbastanza macroscopico: l'equazione che accompagna la disequazione nel sistema non è

    X^2-Y^2 = 1

    bensì

    X^2+Y^2 = 1

    che è l'esatta riscrittura dell'identità fondamentale della trigonometria

    sin^2(x)+cos^2(y) = 1

    e che esprime il legame che sussiste tra le nuove variabili X = sin(x),Y = cos(x).

    Questo dovrebbe risolvere il problema dei risultati, a meno di errori nella risoluzione del sistema Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • no ho solo sbagliato a scriverla in questo momento mica potresti risolverla? grazie

    Risposta di matol

  • Ok :)

    I personaggi in gioco nel sistema sono una retta

    x-2y-1 = 0 → y = (1)/(2)x-(1)/(2)

    che compare nella disequazione

    x-2y-1 < 0 → y > (1)/(2)x-(1)/(2)

    e una circonferenza di centro l'origine degli assi e raggio 1

    x^2+y^2 = 1

    La disequazione 

    y > (1)/(2)x-(1)/(2)

    ti dice di considerare tutti i punti che si trovano al di sopra della retta 

    y = (1)/(2)x-(1)/(2)

    mettere a sistema tale disequazione con l'equazione della circonferenza vuol dire considerare tutti i punti che si trovano sulla circonferenza di centro l'origine e raggio 1 e che si trovano al di sopra della retta.

    Disegna i due luoghi geometrici, e nota che retta e circonferenza si intersecano nei punti

    (1,0),(-(3)/(5),-(4)/(5))

    le soluzioni del sistema sono tutti e soli i punti (X,Y) che si trovano sul predetto arco di circonferenza (quello che ha per estremi i precedenti punti).

    Tornando alla variabile originaria, puoi determinare le soluzioni della disequazione

    sin(x)-2cos(x)-1 < 0

    ricavando gli angoli θ_1,θ_2 dai due sistemi di equazioni

    sin(x) = 1,cos(x) = 0

    e

    sin(x) = -(3)/(5),cos(x) = -(4)/(5)

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • sinx≥2cosx+1 questa è la disequazione che dicevo

    Risposta di matol

  • ma comunque anche in quella precedente ho ancora lo stesso problema

     

    Risposta di matol

  • Quale problema?

    Risposta di Omega

  • con i risultati !

    ciao continuoad avere problemi con questo tipo di disequazioni: sinx≥2cosx+1

    una volta che trovo i punti di intersezione tra la circonferenza e la retta ossia  a me escono due punti il punto A(0,1) e B(-4/5,-3/5) poi per dire che la parte che soddisfa la disequazione va dal punto A al punto B come faccio il libro da questo risultato ma tranne che per pigreco mezzi che rappresenta il punto A non capisco dove prende invece l'arcotangente di 3/4 comunque qusto è il risultato: ∏/2+2k∏≤x≤∏+arctan 3/4 + 2k∏

    grazie :)

    Risposta di matol

  • Per quanto concerne l'arcotangente, osserva che l'angolo che individua il secondo punto di intersezione genera le equazioni (nella variabile x)

    sin(x) = -(3)/(5),cos(x) = -(4)/(5)

    per individuare l'angolo x che corrisponde a tali valori puoi prenderne il rapporto

    tan(x) = (sin(x))/(cos(x)) = (3)/(4)

    e prenderne l'inversa trigonometrica, che - guarda un po' Laughing - è

    x = arctan(((3)/(4)))

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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