Esercizio con disequazione omogenea in seno e coseno

Ciao non riesco a capire in questa tipologia di disequazioni dove sbaglio, però è sempre lo stesso l'errore

sin(x)-2cos(x)-1<0 con sin(x)=X e cos(x)=Y

nel sistema ho quindi

{ X-2Y-1<0

{X²-Y²=1

però poi non capisco perchè i valori di intersezione tra la circonferenza e la retta mi escono sempre sballati. Potreste aiutarmi? Grazie:)

In Superiori - Analisi - Domanda di matol

Soluzioni

Ciao Matol, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega
C'è un errore abbastanza macroscopico: l'equazione che accompagna la disequazione nel sistema non è

bensì

che è l'esatta riscrittura dell'identità fondamentale della trigonometria

$\sin^2{(x)}+\cos^2{(y)}=1$

e che esprime il legame che sussiste tra le nuove variabili $X=\sin{(x)},Y=\cos{(x)}$ .

Questo dovrebbe risolvere il problema dei risultati, a meno di errori nella risoluzione del sistema

Namasté!

Risposta di Omega
no ho solo sbagliato a scriverla in questo momento mica potresti risolverla? grazie

Risposta di matol
Ok :)

I personaggi in gioco nel sistema sono una retta

$x-2y-1=0\to y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

che compare nella disequazione

$x-2y-1<0\to y>\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

e una circonferenza di centro l'origine degli assi e raggio

La disequazione

$y>\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

ti dice di considerare tutti i punti che si trovano al di sopra della retta

$y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$

mettere a sistema tale disequazione con l'equazione della circonferenza vuol dire considerare tutti i punti che si trovano sulla circonferenza di centro l'origine e raggio e che si trovano al di sopra della retta.

Disegna i due luoghi geometrici, e nota che retta e circonferenza si intersecano nei punti

$(1,0),\left(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right)$

le soluzioni del sistema sono tutti e soli i punti che si trovano sul predetto arco di circonferenza (quello che ha per estremi i precedenti punti).

Tornando alla variabile originaria, puoi determinare le soluzioni della disequazione

$\sin{(x)}-2\cos{(x)}-1<0$

ricavando gli angoli $\theta_1,\theta_2$ dai due sistemi di equazioni

$\sin{(x)}=1,\cos{(x)}=0$

e

$\sin{(x)}=-\frac{3}{5},\cos{(x)}=-\frac{4}{5}$

Namasté!

Risposta di Omega
sinx≥2cosx+1 questa è la disequazione che dicevo

Risposta di matol
ma comunque anche in quella precedente ho ancora lo stesso problema

Risposta di matol
Quale problema?

Risposta di Omega
con i risultati !

ciao continuoad avere problemi con questo tipo di disequazioni: sinx≥2cosx+1

una volta che trovo i punti di intersezione tra la circonferenza e la retta ossia a me escono due punti il punto A(0,1) e B(-4/5,-3/5) poi per dire che la parte che soddisfa la disequazione va dal punto A al punto B come faccio il libro da questo risultato ma tranne che per pigreco mezzi che rappresenta il punto A non capisco dove prende invece l'arcotangente di 3/4 comunque qusto è il risultato: ∏/2+2k∏≤x≤∏+arctan 3/4 + 2k∏

grazie :)

Risposta di matol
Per quanto concerne l'arcotangente, osserva che l'angolo che individua il secondo punto di intersezione genera le equazioni (nella variabile )

$\sin{(x)}=-\frac{3}{5},\cos{(x)}=-\frac{4}{5}$

per individuare l'angolo che corrisponde a tali valori puoi prenderne il rapporto

$\tan{(x)}=\frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}=\frac{3}{4}$

e prenderne l'inversa trigonometrica, che - guarda un po' - è

$x=\arctan{\left(\frac{3}{4}\right)}$

Namasté!

Risposta di Omega