Soluzioni
  • Ciao Cimino, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Andiamo con ordine :)

    Il primo punto dell'esercizio ti chiede di stabilire quali tra i punti assegnati appartengono al supporto della curva oppure no. Si tratta solo di considerare le equazioni parametriche della curva

    x(t)=t^2

    y(t)=t^3

    z(t)=t

    con t parametro in [0,3] e di sostituire le tre coordinate di ciascun punto in luogo di x,y,z. Se esiste un comune valore del parametro t tale da soddisfare le tre equazioni e tale da appartenere all'intervallo reale [0,3], allora il punto appartiene al supporto della curva, in caso contrario no.

    Ad esempio, per P=(4,8,2) vediamo che r(2)=P e t=2\in [0,3], sicché il punto P appartiene al supporto di r.

    Fin qui è ok?

    Risposta di Omega
  • sì, scusami avrei dovuto dirti che avevo già verificato che P1 apparteneva e che P0 no poiché pur verificando l' equazione non apparteneva al dominio

    Risposta di Cimino
  • Non c'è problema Wink

    Per l'equazione della retta tangente, osserva che il vettore tangente alla curva ha direzione data da

    r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))

    per cui

    r'(t)=(2t,3t^2,1)

    quindi per determinare il vettore tangente alla curva nel punto P_1 bisogna solo valutare la derivata prima nel valore del parametro che individua il punto P_1

    r'(2)=(4,12,1)

    e scrivere l'equazione della retta nota la direzione che la descrive e un suo punto di passaggio. Quale? P_1, naturalmente

    P(s)=P_1+s r'(2)

    P(s)=(4,8,2)+s (4,12,1)

    dove s\in\mathbb{R} è un parametro reale.

    Tutto ok per questo punto?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • sì fin qui va bene anche se ora non so comunque come trovare l' equazione della retta

    Risposta di Cimino
  • Ma 

    P(s)=(4,8,2)+s (4,12,1)

    è l'equazione (vettoriale) della retta tangente...Laughing

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ok, scusa il ritardo, mi stavo documentando sull' aromento poiché mi aspettavo l' equazione di una retta del tipo y= mx + q e non avevo mai visto una equazione vettoriale di una retta, ora però sono ancora + confuso Embarassed,  come  risolvo poi l' integrale?

    Risposta di Cimino
  • Un'equazione vettoriale di una retta è semplicemente un sistema di equazioni scalari, in numero pari alla dimensione dello spazio considerato: in particolare

    x(s)=4+4s

    y(s)=8+12s

    z(s)=2+s

    che sono le equazioni parametriche della retta. Nulla di più :)

    Per calcolare l'integrale della funzione f(x,y,z)=2z+9y lungo la curva r(t)=(t^2,t^3,t), con t\in [t_0,t_1]=[0,3] devi solamente integrare

    \int_{t_0}^{t_1}{f(x(t),y(t),z(t))dt}

    cioè la valutazione della funzione sulle coordinate (funzioni!!) della curva. Ottieni così un integrale in una variabile

    \int_{0}^{3}{(2t+9t^3)dt}

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ti amo

    Risposta di Cimino
  • Looooooooooooooooooooool addirittura! LaughingLaughingLaughingLaughingLaughing

    Risposta di Omega
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