Soluzioni
  • Consideriamo la funzione definita a tratti

    f(x)=\begin{cases}2-\sqrt{x}&\mbox{se} \ x\ge 0\\ 4(x+a)&\mbox{se} \ x<0\end{cases}

    Per determinare il (o "i") valore di a per cui f(x) risulti una funzione continua nel punto x_0=0 dobbiamo solo fare riferimento alla definizione di continuità puntuale: i due limiti destro e sinistro devono essere finiti e coincidere con la valutazione della funzione nel punto x_0.

    Calcoliamo i limiti destro e sinistro facendo attenzione a scegliere il giusto ramo. Per quanto concerne il limite destro, prenderemo in considerazione il primo ramo, giacché x\to0 per valori maggiori di 0:

    \lim_{x\to0^{+}}f(x)=\lim_{x\to0^{+}}(2-\sqrt{x})=2

    Per il calcolo del limite sinistro utilizziamo il secondo ramo perché questa volta la variabile x tende a 0 per valori minori di 0

    \lim_{x\to0^{-}}f(x)=\lim_{x\to0^{-}}4(x+a)=4a

    Infine, ma non meno importante, valutiamo la funzione nel punto considerato

    f(0)=2-\sqrt{0}=2

    Per avere continuità in x_0=0 dobbiamo richiedere che i due limiti coincidono con la valutazione della funzione in 0, ossia dev'essere verificata l'equazione

    4a=2\implies a=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}

    In definitiva, possiamo concludere che la funzione è continua in x_0=0 se e solo se a=\frac{1}{2} ossia se la funzione è

    f(x)=\begin{cases}2-\sqrt{x}&\mbox{se} \ x\ge0\\ 4\left(x+\frac{1}{2}\right)&\mbox{se} \ x<0\end{cases}

    che, distribuendo il 4 nel secondo ramo, si può esprimere nella forma equivalente

    f(x)=\begin{cases}2-\sqrt{x}&\mbox{se} \ x\ge0\\ 4x+2&\mbox{se} \ x<0\end{cases}

    Finito.

    Risposta di Ifrit
 
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