Soluzioni
  • La funzione è

    f(x)=x^4 e^{-2x}

    Calcoliamo la derivata prima con la regola di derivazione del prodotto di funzioni.

    \\ f'(x)=4x^3e^{-2x}+x^4(-2)e^{-2x}=\\ \\ =4x^3e^{-2x}-2x^4e^{-2x}

    Scriviamola meglio raccogliendo il termine 2x^3 e^{-2x}:

    f'(x)=2x^3e^{-2x}(2-x)

    Per calcolare i punti stazionari poniamo la derivata prima pari a zero e risolviamo la corrispondente equazione:

    2x^3e^{-2x}(2-x)=0

    Applichiamo la legge di annullamento del prodotto e risolviamo separatamente le tre equazioni corrispondenti.

    2x^3=0

    La prima soluzione è quindi x=0

    e^{-2x}=0

    L'esponenziale non si annulla mai, quindi tale equazione non fornisce soluzioni.

    2-x=0

    da cui x=2.

    Ne deduciamo che i punti stazionari sono x=0,\ x=2.

    Studiando il segno della derivata prima saremo in grado di capire dove la funzione cresce o decresce:

    f'(x)=2x^3e^{-2x}(2-x)\geq 0

    Studiamo il segno di ciascuno dei tre fattori

    2x^3\geq 0

    Le soluzioni sono date da x\geq 0.

    e^{-2x}\geq 0

    Questa disequazione è sempre vera, proprio perché l'esponenziale è sempre positiva.

    (2-x)\geq 0

    L'ultima disequazione è vera per x\leq 2.

    Confrontando le soluzioni otteniamo che la derivata prima è negativa a sinistra di zero, quindi la funzione decresce; la derivata è positiva (quindi la funzione cresce) tra 0 e 2 e decresce a destra di 2.

    In definitiva x=2 è un punto di massimo relativo o massimo locale per f(x), mentre x=0 è un punto di minimo locale.

    Il procedimento generale per studiare i punti stazionari di una funzione è descritto qui: massimi e minimi.

    Risposta di Ifrit
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