Soluzioni
  • L'integrale

    \int\frac{5}{x\ln(3x^2)}dx=

    può essere affrontato con il metodo di integrazione per sostituzione, ma prima è necessario manipolare algebricamente l'integranda, così da agevolare i calcoli in seguito.

    Grazie alle proprietà delle potenze, possiamo esprimere 3x^2 come (\sqrt{3}x)^2 (questo perché il quadrato della radice quadrata di 3 è uguale a 3) e dunque l'integrale si scrive come

    =\int\frac{5}{x\cdot \ln((\sqrt{3}x)^2)}dx=

    e per una nota proprietà dei logaritmi diventa

    =\int\frac{5}{x\cdot 2\ln(\sqrt{3}x)}dx=

    Per la linearità degli integrali possiamo trasportare fuori dal simbolo di integrazione le costanti moltiplicative

    =\frac{5}{2}\int\frac{1}{x\ln(\sqrt{3}x)}dx=(\bullet)

    Ora possiamo finalmente integrare per sostituzione: poniamo

    y=\ln(\sqrt{3}x)

    e deriviamo direttamente la funzione che definisce il cambiamento di variabile:

    dy=\frac{1}{\sqrt{3}x}\cdot\sqrt{3}dx=\frac{1}{x}dx

    in questo modo possiamo riscrivere l'integrale nella forma

    (\bullet)=\frac{5}{2}\int\frac{1}{y}dy=

    che è un integrale fondamentale che coincide con un logaritmo a meno di costanti additive

    =\frac{5}{2}\ln(|y|)+k=

    Ripristiniamo la variabile x ricordando che y=\ln(\sqrt{3}x)

    =\frac{5}{2}\ln(|\ln(\sqrt{3}x)|)+c

    Ora l'esercizio è completo.

    Risposta di Ifrit
 
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