Soluzioni
  • Ok :)

    La funzione è dunque

    f(x)=\log_{\frac{1}{3}}{\left[\frac{x^2-1}{2x+5}\right]}-1

    e dobbiamo determinare l'insieme A\subseteq Dom(f) dato da

    A:=\{x\in Dom(f)\mbox{ t.c. }f(x)>0\}

    La condizione che definisce A equivale alla disequazione

    \log_{\frac{1}{3}}{\left[\frac{x^2-1}{2x+5}\right]}>1

    Ma prima dobbiamo occuparci del dominio della funzione f(x). Le regole per determinare il dominio di una funzione sono esposte in questo articolo

    L'unica condizione da imporre riguarda l'esistenza del logaritmo, vale a dire: l'argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo

    \frac{x^2-1}{2x+5}>0

    Tale disequazione fratta (click!) ha come soluzioni

    -\frac{5}{2}<x<-1\vee x>+1

    quindi

    Dom(f)=\left(-\frac{5}{2},-1\right)\cup \left(1,+\infty\right)

    Le soluzioni relative alla disequazione

    \log_{\frac{1}{3}}{\left[\frac{x^2-1}{2x+5}\right]}>1

    andranno messe a sistema con le condizioni che definiscono il dominio della funzione.

    Ora si tratta di risolvere la disequazione logaritmica (come? Vedi la lezione del link), che riscriviamo nella forma

    \log_{\frac{1}{3}}{\left[\frac{x^2-1}{2x+5}\right]}>\log_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}

    Dato che la base dei logaritmi è compresa tra 0 e 1, possiamo eliminare i logaritmi a patto di invertire il simbolo di disequazione

    \left[\frac{x^2-1}{2x+5}<\frac{1}{3}

    Questa disequazione fratta ha come soluzioni

    x<-\frac{5}{2}\vee -\frac{4}{3}<x<2

    Per cui mettendole a sistema con le condizioni che definiscono il dominio della funzione troviamo

    A=\left(-\frac{4}{3},-1\right)\cup\left(1,2\right)

    Namasté!

    Risposta di Omega
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