Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(\frac{1}{x^2}\right)}{\cos(x)-\ln(x^4-2)}=

    genera una forma indeterminata del tipo \left[\frac{\infty}{\infty}\right] che può essere risolta mediante il teorema di de l'Hopital. In questa occasione non conviene però invocare il teorema del marchese perché i calcoli non sono agevoli. Troviamo un'alternativa che possa aiutarci nei conti.

    In accordo con la definizione di potenza con esponente negativo possiamo scrivere il limite nella forma

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x^{-2})}{\cos(x)-\ln(x^4-2)}=(\bullet)

    e inoltre possiamo osservare che la funzione coseno è limitata tra i valori dell'intervallo [-1,1] mentre la funzione logaritmica diverge negativamente

    y=-\ln(x^4-2)\to -\infty \ \ \ \mbox{per} \ \ \ x\to +\infty

    Proprio per questo motivo il coseno può essere bellamente trascurato

    (\bullet)=\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(x^{-2})}{-\ln(x^4-2)}=

    così come può essere trascurata la costante additiva -2 la quale non influisce in alcun modo nel risultato

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(x^{-2})}{-\ln(x^4)}=

    Per una nota proprietà dei logaritmi, infine, possiamo scrivere

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{-2\ln(x)}{-4\ln(x)}=\frac{1}{2}

    Il risultato si ottiene semplificando opportunamente i termini.

    Risposta di Ifrit
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