Soluzioni
  • Dobbiamo determinare il dominio della funzione

    f(x)=\log_{2}\left(\frac{\sqrt{x}+4}{5^x}\right)

    per il quale abbiamo diverse condizioni da prendere in considerazione e, naturalmente, da mettere a sistema.

    La radice quadrata impone la non negatività del proprio radicando:

    x\ge 0

    Affinché la frazione esista, dobbiamo richiedere che il suo denominatore sia non nullo. Imponendo tale condizione ricaviamo l'equazione esponenziale

    5^x\ne 0

    che è verificata per ogni numero reale x, essendo l'esponenziale una funzione positiva e mai nulla.

    Per far sì che il logaritmo sia ben definito, infine, imponiamo che il suo argomento sia maggiore di zero, ottenendo così la disequazione fratta

    \frac{\sqrt{x}+4}{5^x}>0

    Osserviamo che il denominatore è positivo sull'intero asse reale così come il numeratore perché somma di una radice quadrata e di un addendo costante e positivo. La disequazione è pertanto soddisfatta per ogni numero reale x che rende non negativo il radicando, vale a dire x\ge 0.

    Il sistema di disequazioni che definisce il dominio è di conseguenza

    \begin{cases}x\ge 0 \\  \\ 5^{x}\ne 0 \\ \\ \frac{\sqrt{x}+4}{5^x}>0\end{cases}

    ed è soddisfatto per x\ge 0. Concludiamo che il dominio di f(x) è l'insieme

    Dom(f)=\{x\in\mathbb{R} \ : \ x\ge 0\}

    che possiamo esprimere nel linguaggio degli intervalli come

    Dom(f)=[0,+\infty)

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
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