Dominio con logaritmo, radice e frazione

Dobbiamo determinare il dominio della funzione

per il quale abbiamo diverse condizioni da prendere in considerazione e, naturalmente, da mettere a sistema.

La radice quadrata impone la non negatività del proprio radicando:

Affinché la frazione esista, dobbiamo richiedere che il suo denominatore sia non nullo. Imponendo tale condizione ricaviamo l'equazione esponenziale

che è verificata per ogni numero reale , essendo l'esponenziale una funzione positiva e mai nulla.

Per far sì che il logaritmo sia ben definito, infine, imponiamo che il suo argomento sia maggiore di zero, ottenendo così la disequazione fratta

Osserviamo che il denominatore è positivo sull'intero asse reale così come il numeratore perché somma di una radice quadrata e di un addendo costante e positivo. La disequazione è pertanto soddisfatta per ogni numero reale che rende non negativo il radicando, vale a dire .

Il sistema di disequazioni che definisce il dominio è di conseguenza

ed è soddisfatto per . Concludiamo che il dominio di è l'insieme

che possiamo esprimere nel linguaggio degli intervalli come

Ecco fatto!